合情推理引领高三习题教学的案例研究

陈海波

[摘 要] 本文中，针对高三复习中的一道数列题，使用合情推理，让学生进行自主编题活动. 在高三的习题教学中，教师应渗透合情推理思想方法，加强合情推理思想方法的研究，引导学生领悟和掌握合情推理思想方法，教会学生分析和解决数学问题，提高学生数学解题思维水平，体会数学解题过程的价值.

[关键词] 归纳推理；演绎推理；合情推理.

恩格斯说过：“数学是一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象科学.” 数学是一门抽象性和严谨性都非常高的学科，它是一门以理性思维为主的学科，数学的学习特点决定了数学教学是最适合研究性教学的学科之一. 《普通高中数学课程标准》也指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课堂还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习的方式，这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的再创造过程.

数学教学要求在传授给学生数学知识的同时，也要使学生具备良好的数学思维以及正确的逻辑演绎方法和系统的合情推理方法. 在高三的习题教学中，教师应渗透合情推理思想方法，加强合情推理思想方法的研究，引导学生领悟和掌握合情推理思想方法，教会学生分析和解决数学问题，提高学生数学解题思维水平，体会数学解题过程的价值，培养学生全面的数学解题观念，提高解题能力. 在具体教学中，教师应从观察、联想、归纳与比较中培养学生解决数学问题的思想方法，使学生形成良好的认知结构，帮助学生主动构建，最终达到提高学生观察事物内在联系，寻求解决问题的能力，培养现代社会需要的创新型人才.

本文中，笔者借助高三复习阶段的一道数列题，谈谈对高三课堂中合情推理思想方法渗透的粗浅看法，以期抛砖引玉.

原题：设等差数列{an}的前n项和为sn，且a5+a13=34，s3=9.

（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；

本题是江苏模拟考试的一道数列解答题，本文中只对第（2）问作一些用合情推理研究的尝试.

教师： 第（1）问同学们基本上都能够完成，但第（2）问的得分非常低，哪位同学愿意展示一下你的解法呢？

学生：（学生投影展示）.

设计意图：展示学生的解法，提出质疑，培养学生观察、记忆、联想、比较、分析等合情推理的思维能力.观察、记忆、联想、比较、分析等合情推理有助于引导学生发现数学知识的内在联系，启发解题的思路，开阔视野，沟通数学内部多层次的联系.

教后反思：习题教学既不仅仅是为了一个题目，也不仅仅是为了一个解答，而是为了给学生一种体验，让学生从中领悟数学的思想方法，形成思维模式.数学是关于模式的科学，从一个题目到一个模式，不是简单地做做题就可以的，必须进行解题后的反思和升华，反思的深度和升华的高度将决定解题教学目标达成的效度.

教师：对第（2）问用类比推理，你能编出一个什么样的题目？

设计意图：在习题教学中，以问题驱动学生进行类比思想的渗透，培养学生的类比推理能力，能够使学生更容易地认识数学对象的本质属性，为社会、国家培养更多具有创新精神和创造能力的人才.

教后反思：数学教学的根本目的是提高学生分析问题和解决问题的能力，为了更好地让学生进行真正主动积极的探究，在数学课堂上要始终站在学生的角度，要以学生为本有针对性地对学生进行合情推理思想的渗透. 在数列知识的学习过程中，从数列类型类比让学生自编习题，然后根据数列基本量和数列的性质去研究解决问题，能够拨动学生思维的琴弦，攀登思维的高处，让学生感受数学之美，数学之妙，数学之魅力.

教师： 把第（2）问中的b2推广到一般形式，你能编出一个什么样的题目？

设计意图：以问题驱动学生进行归纳思想的渗透. 在高三解题教学中，应重视归纳等思想方法的渗透学习，重视智力开发，重视探究活动，强调类比、归纳等思维方法在数学学习中的作用，使得本互不相融的演绎推理和合情推理变得交相呼应.

教师：对自编题目2中的a2和自编题目3中的a3用归纳推理进行推广，你能编出一个什么样的题目？

学生共同思考，现将部分自编题目的一般形式整理如下：

（1）已知数列{an}的通项为an=kn+b，是否存在多项an1，an2，…，ant成等比数列？

（2）已知数列{an}的通项为an=Aqn， 是否存在多项an1，an2，…，ant成等差数列？

（3）已知数列{an}的通项为an=Aqn（kn+b），是否存在多项an1，an2，…，ant成等差数列？

（4）已知数列{an}的通项为an=Aqn（kn+b），是否存在多项an1，an2，…，ant成等比数列？

（5）已知数列{an}的通项为an=Aqn+kn+b，是否存在多项an1，an2，…，ant成等差数列？

（6）已知数列{an}的通项为an=Aqn+kn+b，是否存在多项an1，an2，…，ant成等比数列？

设计意图：以问题驱动学生进行类比和归纳等合情推理思想的渗透.学生在数学知识的学习过程中，感觉抽象、枯燥无味，如何愉快地学习，如何化难为易、化整为零，合情推理的注入显得非常重要.

教后反思：笛卡尔在他的数学方法研究中，抽象出了在任何领域中获得正确知识的一些原则，其中有一条就是：按照次序引导我们的思想，以便从最简单、最容易的认识对象开始，一点一点逐步上升到复杂的对象的认识，即便是那些彼此之间并没有自然的先后次序的对象，我们也给他设定一个次序.在高三数列内容的学习中，学生应自主探索、发现，学习数列知识的规律及内在的联系，使用演绎推理和合情推理根据数列之间的本来固有的次序，逐渐认识到复杂问题的本质，提高学生发现问题和解决问题的能力.

结束语

基于合情推理思想的高中解题教学有助于激发学生数学学习的内在动力，能帮助我们对问题进行分析、猜想，发现解决问题的途径，因而它是扩大知识范围，获得新知识的重要手段，可以培养学生的创新思维能力、想象能力和实践能力.

基于合情推理思想的高中解题教学，有助于对高中知识形成完整、清晰、稳定、持久的知识结构，通过类比可以发现解题思路，通过观察、联想可以寻找与待解决问题相似或熟悉的问题，以达到举一反三、触类旁通的效果，因此可以形成全面的、有机的知识体系.