关于分类讨论思想在初中数学中运用的思考

郑华

摘要：初中阶段学生抽象思维的发展逐渐超过形象思维，分类讨论思想作为抽象思维的典型代表，成为初中数学解题的重要技巧。本文从探讨分类讨论思想的相关内容入手，解读分类讨论思想与初中数学教学的适切性，分析初中数学中应用分类讨论思想的具体案例，以期提高学生应用分类讨论思想解决数学问题的能力。

关键词：分类讨论思想 初中数学 应用方法

一、分类讨论思想的意蕴解读

分类讨论思想是初中数学中利用逻辑划分思想解决数学问题的一类思维方式，它主要是应用“化整为零”的思想，对数学问题逐一击破，再通过积零为整的思想，结合归类整理的有关方法，实现数学问题的有效解决。分类讨论思想的应用能够帮助学生理清解题的思路，提高解题的效率，促进学生创新意识的形成，增强学生的实践能力。初中数学中分类讨论思想的应用通常要遵循两个基本原则，一是分类的同一与相称原则，分类的同一与相称是指讨论对象的明确性与讨论标准的一致性；二是实际教学中分类讨论思想的互斥与多层次原则，分类讨论中的各个子项之间的关系应该是互斥的，不同子项之间应该没有交集，要有层次的解决多次分类的问题，采用二分法逐层化解概念的相互矛盾问题。

二、分类讨论思想在初中数学中运用的分析

（一）初中数学函数中分类讨论思想的运用

函数是初中数学学习中的重点与难点，也是应用分类讨论思想最多的一部分内容，通常应用于解决一次函数、反比例函数及二次函数等题型，如例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标。

从这道题的已知的条件来看，条件并不是唯一的，题目中没有明确该函数是一次函数还是二次函数，这就需要应用分类讨论思想，对函数进行相关内容的分类讨论。首先，要根据k的值，讨论该函数为一次函数或二次函数时，函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标，即当k=1时，该函数为一次函数，这时函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标为（1，0）；当k不等于1时，函数y=（k-1）x2-kx+1为二次函数，就需要继续运用分类讨论思想，讨论△>0与△=0两种情况下二次函数与x轴的交点坐标，即当△>0时，k不等于2，二次函数与x轴会有两个交点（1/K-1，0）、（1，0）；当△=0时，k=2，二次函数与x轴会有一个交点（1，0）。

（二）初中数学几何中分类讨论思想的运用

分类讨论思想在几何中的应用最为直观，在学习圆与直线的位置关系这部分内容时，通常需要依据直线与圆有两个公共点、唯一公共点及没有公共点，将圆与直线的关系划分为相交、相切与相离，如例题：两个圆的半径分别为6与4，如果这两个圆相切，求这两个圆之间的圆心距是多少？

从这道题中的已知条件可知，该题讨论的是有关两圆相切的内容，这时学生必须能够利用分类讨论思想厘清两圆之间的关系，确定两圆相切的计算过程及内容；确定好相切关系以后，教师还需引导学生继续利用分类讨论的思想对相切的情况进行分类讨论，两圆相切一般为两种情况，一种是两圆外切，两圆如果是外切，那么可以得出两个圆之间的圆心距为10；一种是两圆内切，内切时两圆之间的圆心距为2，综上所述，可知两个圆之间的圆心距分别为10或2。

（三）初中数学方程中分类讨论思想的运用

方程的学习对于初中生来说具有一定的难度，如何在不同情况下方程利用不同的方法来讨论方程的具体情况一直是初中数学学习的难点，教师必须引导学生掌握多角度思考的方式，全面的把握每一种可能出现的情况，有效的应用分类讨论思想，合理的解决方程中的具体问题。如例题：解关于x，y方程组。

这道题的解答需要应用消元的方法，方程组的两边可以同时乘以m与n，由此将方程组中的y消去，这时方程组中就只有m与n两个字母，由于m、n是字母而不是具体的数字，因此需要考虑m与n的取值范围，这就需要运用分类讨论思想，讨论m与n的三种取值范围。一是m≠0且n≠0的情况下，原方程的解为x=1，y=0；二是m=0但n≠0的情况下，原方程的解为x=1，y=0；三是m≠0且n=0的情况下，原方程的解为x=1，y=0.由此可知，原方程的解为x=1，y=0.

综上所述，分类讨论思想在初中数学中的应用做好两个方面的内容，一是要引导学生在解题的过程中掌握分类讨论的思想与方法，学会运用分类讨论思想解决实际的数学问题；二是要帮助学生养成发散性思维，逐渐引导学生从形象思维转变为抽象思维，加强学生的问题解决能力，灵活运用分类讨论思想解决初中数学的问题。

初中数学中运用分类讨论思想是初中数学思想的具体表征，教师要利用分类讨论思想培养学生的抽象思维能力，提高学生的解题效率与质量，促进学生认知与思维的不断发展与进步。

参考文献：

[1]袁少建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J].数学学习与研究，2015，（03）.

[2]刘海琴.分类讨論思想在初中数学解题中的应用[J].理科考试研究，2014，（05）.