论APOS视角下的概念性变式教学

艾尔肯·吾买尔，王守哲

(喀什大学 教育科学学院，新疆 喀什 844008)



论APOS视角下的概念性变式教学

艾尔肯·吾买尔，王守哲

(喀什大学 教育科学学院，新疆 喀什 844008)

摘要：APOS理论是个体进行概念学习时的核心学习理论。它由活动、过程、对象和图式四个连续的辩证阶段构成，其本身具有完整性、活动性、发展性、和特殊性四大特征。概念性变式教学着眼于概念形成以后的深度学习，使学生通过对概念多角度、全方面、广层次的理解，从而深层把握概念的本质。APOS理论与概念性变式教学之间的适恰融合，在充分借助其自身理论优势的条件下，则能有效促进学生对数学概念性变式的掌握。

关键词：APOS理论；数学概念；概念性变式；教学

数学概念是“人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。”[1]它是数学学习中的“细胞”，借助于这一“细胞”，便可将直观感受与抽象思维有机结合。可以说，数学概念就是打开数学学习之门的钥匙。但要掌握这把钥匙却也并非易事，它必须要经历一个由浅入深的深层次的理解与转换的抽象过程，而这也成为了概念学习的难点。APOS理论，作为一种活跃于我国数学教学中的国外理论，尽管在进行数学概念教学时应用，而对于概念性变式教学中教学运用的探讨相对较少。基于此，笔者以期通过本文的研究，能为当前数学概念的深入教学梳理出一条适恰的路径。

1APOS理论

APOS理论是20世纪80年代美国学者杜宾斯基(Dubinsky)等人在数学教育实践中发展的一种建构主义理论。[2]它是他们试图对皮亚杰(J.Piaget)数学学习“反省抽象(Reflective Abstraction)”理论进行拓展的一种尝试。[3]这种理论是一种以构建主义为背景、集中于特定学习内容——数学概念学习过程的学习理论。这一理论的提出，为数学概念的有效并深入学习提供了一种“范例”。

1.1APOS理论建构的四阶段

杜宾斯基等人认为，学生学习数学概念要进行心理构建，而且这一心理构建过程要经历如下四个阶段：第一个阶段是活动(Action)阶段。通过教师精心安排的“教学活动”，让学生亲身体验并直观感受规则与概念之间的关系。其中“教学活动”，既涉及动手操作的活动，也包括思维活动。在学生理解概念的过程中，活动阶段虽是一个铺垫的阶段，但却是一个必要条件。第二个阶段是过程(Process)阶段。此阶段中，学生对所经历的活动进行思考，并通过自身的思维概括生成某种经验，也即是经验的心理建构过程。第三个阶段是对象(Objecet)阶段。这一阶段是通过之前的铺垫，个体已然可以认识到了概念的本质，并把自己所把握到的经验实体化，赋予这些经验具象化的定义及符号，使其得以精确。此时，这些实体化的符号则成为了思维中的具体的对象，在以后的学习中便可以此为学习对象进行新的活动。第四个阶段是图式(Scheme)阶段。这一阶段中将反映概念的特征、定义、符号以及获得知识的过程一并容纳其中，并在不断地学习完善和长期的积累后，会与其它已经习得的概念图式进联系、融合，最终形成一个具有整体意义的知识结构，即综合性的心理图式。

1.2APOS理论的特征

如上四阶段，杜宾斯基曾指出它们是有层次、有顺序的，但这种层次和顺序不是说任何一个数学概念都是按由上到下的顺序经历着四个阶段，是一种线性关系。在某些复杂概念建构时，这四个阶段可能会颠倒其中某个阶段，甚至还会出现反复的情况。也即是各阶段之间存在着一种辩证关系。从这种辩证关系出发，四阶段之间存在着较为显著的四个特征：①完整性。APOS理论下学生学习数学概念的过程，不仅表明了概念构造的层次性，更显示出每一个阶段都有其存在的特殊意义，四个阶段缺一不可。②活动性。数学概念学习的核心是抽象思维活动，但这一核心的起点确是数学的直观体验活动，在教师的引导启发下通过与个体自身的经验相结合，从而引起学生的内在思维活动。③发展性。学生初步习得概念后，学习的过程中便可获得更多的经验，构建起与其它概念相连的图式，从而推进整体图式地不断地完善和发展。④特殊性。APOS理论强调个体对数学概念的构建，个体所学的数学概念并非是对既定数学知识的单纯理解和接受，而是对这些知识内容过程的再体验和再创造，在这个过程中，不同的个体则会构建出属于自己的独一无二图式。这四个特征一方面突出了概念教学所具有的动态生成性，个体所建构的意义就在“活动”与“发展”的动态中生成，另一方面也突出了概念教学中自身完整的体系性，而有别于一般意义的过程教学。

2APOS理论下的概念性变式教学

数学教学的基本特点表现为对数学概念和原理理解的多角度性以及推进数学活动的广层次性。这一特点，在数学变式中表现为两种形态：过程性变式和概念性变式[4]。过程性变式，虽注重过程，但其目标指向依旧是问题解决，在数学教学过程中逐渐衍生出多种变式；概念性变式教学，在个体进行概念建构以后，并不直接进行问题解决，而是从理解的范畴出发，通过学生多角度、多方面、广层次的概念理解，从而把握概念的本质。两种变式学习过程相较而言，后一种学习过程更具基础性和本质性。

2.1APOS理论对概念性变式教学的解析

(1)活动阶段与情景创设。变式教学，并不意味着，在教学阶段之初就进行抽象的概念转换活动，而是首先要借助于直观的情景活动进行直觉体验并思考，因为“学生对知识真正意义的理解与建构是建立在亲历操作的基础上的”[5]。例如，在对y=kx+b(k ≠ 0，b∈R)这个一次函数学习时，可以先从简单函数y = 2x开始学起，通过具体的赋值，让学生直观感受并思考规则与概念的关系，并为接下来的概念学习做好铺垫。如图1，就通过具体赋值的学习形式，让学生由直观的具体数字计算逐步过渡到对抽象函数关系的有效把握。可以说，借助于直观的活动以创设适恰的概念学习的背景，则能为个体后续的有效学习打下坚实的经验基础。

图1一次函数赋值学习过程剖析图

(2)过程阶段与主动建构。学生通过对数字组的直观观察、反复思考，以找出这些看似杂乱数字之间的对应关系，经过若干项对应关系的“试误”活动，便可使学生在头脑中逐渐抽象和概括出这些数组间必然的对应关系，从而把握住这些数组之间的本质。面对诸如图一中的具体的一次函数的学习，当学生认识到在这个函数表达式中，每取一个不同的数就会对应出不同的数值，通过对函数本身及其运算规则的把握就可以实现这种对应，而不再需要具体数值运算加以支撑时，个体也就实现了这种对过程阶段的主动构建。

(3)对象与图式阶段的显性化理解。在对象阶段中，由于有了前两个阶段对一次函数理解学习的所获取的经验，所以此阶段就可以自然而然地将y=kx+b一次函数看作一个整体的存在形式，并赋予其具体且形象的定义和符号，从而就使得我们容易在整体上把握此函数概念的本质。例如算式y1=2x+1、y2=3x+2。在要求两个函数做加减乘除运算时，都是将函数一、函数二分别作为两个独立且完整的对象来处理的。进入图式阶段后，作为学习对象的一次函数的概念，会在学习者的认知结构中以节点的形式存在，并在与其它的节点相互联系后，形成一种综合的心理图式，从而建立起一种内在的稳定的联系。可以说，这一图式实际上融合了一次函数中抽象的过程、实例性质、完整的定义等内容，图式的形成也意味着知识已经组合成了一个完整的体系，它在数学认知体系中占有重要的地位。

2.2APOS理论指导下的概念性变式教学

数学概念具有抽象性的特点，但在概念教学中，却离不开将“直接或具体的变式引入概念”[6]的做法，即对活动阶段和过程阶段的引入与过渡。在采用这一教学策略时，应将注意力由集中于相应的计算过程而转向对函数本身的关注。要允许依靠学生直观的经验学作为桥梁，搭建起理性概念和概念性概念的通路。在APOS理论中，其初始活动阶段强调的亲身试验和经历，以及后续阶段所依靠的抽象思维形式，都完整地蕴藏于概念学习的整个过程之中，同时，也唯有如此完整的学习，也才是完整的数学学习概念的过程。

由上述APOS的理论可知，学生对概念的学习是一个不断构建的过程，这个过程由具体而抽象，升华和反思一并融于其中。而其中产生这一疑惑的主要原因则源于他们对一次函数的理解还停留在视觉化的前两个阶段。为此，在学习中，学生只有不断地构建对一次函数的理解，并与自己头脑中原有的相关概念的图式进行整合、精致，才能形成完整的一次函数的概念。同时，这也是一个循序渐进的对一次函数概念的不断完善的过程，而这也充分体现了APOS理论的效用。

另外，为了使学生能多角度地理解数学概念，我们还需从另一个角度来对非概念性变式的概念的外延予以深入理解。如学生在判断y2=2x+1；y=1/(2x)+1 ；y+4x=4x+1时，会对不是一次函数的试子感到困惑，而这其中的原因固然有他们对于一次函数的理解依旧处于视觉化的阶段，在抽象思维层次没有质性飞越的限制。但对函数外延的有效理解也是其中很重要的内容之一。可以说，以APOS理论理解与解析概念性变式的方式，不但涉及到了对其内在知识体系的完整理解，更涉及到了对概念的外延的清晰把握，最终使学生可以在更深层次上理解和把握数学概念及其边界。

3APOS理论有效应用于概念性变式教学的条件

3.1教学四阶段需连续并活用

“活动”“过程”“对象”“图式”这四个阶段在概念学习中是一个连续的过程，学生跳过其中任何一个阶段而进入下一个阶段的学习，都难以达成对概念有效学习的目的。要么过于抽象难懂，要么缺乏学生已有经验的参与，又或者是难以将所学运用于生活实际。而当经历了“活动”、“过程”、“对象”、“图式”四个阶段后，学生就会在头脑中逐步形成完整的概念的过程。可以说，四个阶段具有极强的逻辑关联性，是一个完整的有机整体。但也需要注意的是，教师的教学设计，一方面需要与各阶段的设计协调统一。另一方面，也需要在协调统一的过程中明确：四阶段流程并不是每节课堂都要必然要完成的任务，它们也可以分散到几节课中共同完成。

APOS是一个基于学生主动探究以逐步形成概念过程的理论，除了需要重视四阶段的连续性外，还要紧密关注其“活用”。而这也对教师提出了更高要求。看似学生是探究的主体，一切活动在围绕教师展开，但毕竟教师是整个活动的引导者，缺乏了教师这一引导要素，整个教学活动可能就不复存在了。而这也意味着教师要在课前要付出更多的时间和精力。一方面，要求教师在课前教学设计中尽可能地预演课堂上的种种可能、预想学生在概念形成的各个阶段可能出现的情况，以便在课堂上顺利指导学生完成探究过程。另一方面，教师还要联系教学实际，对概念形成的各个阶段的衔接进行精心设计，以帮助学生用最短的时间、最易理解的方式完成新概念的构建过程，形成概念的优化认知。

3.2教师在引导活动情景中把握“度”

在学生概念性变式的掌握进程中，情景活动固然为图式的形成提供了认识基础，但是这种认识基础只是一种表面认识，它还需要进一步深化，即在教师的引导下让学生可以从杂乱的情境中抽象出概念的本质，从而引起学生的积极思考。这就牵涉到了概念学习“度”的问题。一方面，要充分重视教师引导的重要作用。学生对数学概念的详尽掌握，是从看似无意义的教学活动情景向意义世界的建构，而这种建构活动则极大地依赖于教师的引导作用，如果忽略了教师引导这一因素，学生很可能依旧在无意义的情景世界中徘徊，而无所收获。另一方面，教师要对活动阶段有一个整体“度”的把握。情景活动引入的目的恰是为了能够让学生运用抽象思维以把握概念的本质而做的铺垫。所以情境活动的创设不能有太多的停留，造成活动阶段过长，偏离了概念学习的本质，也不可蜻蜓点水一般，思维、活动没有很好地结合就结束了这一阶段。这就要求教师有较高的驾驭课堂的能力。

3.3认识过程中蕴含着丰富的价值意义

在活动阶段，学生的认识依旧还停留在具体、直观、视觉化的初始阶段，而从过程阶段开始，观察、分析和比较等内外的心智活动则一同开启，并对活动和操作中的共有成分进行思考，从而生发出意义，随后通过对这种过程的意义性内容进行扩充、调整并纳入自己原有的概念体系中。通常而言，在现实的问题情景中要抽离出概念的本质是需要一个过程的，这就要求学生对新概念的理解由感性而上升至抽象思维层面，即经过自身的思维概括及内化以达至对过程意义的理解。

3.4后两个阶段具有循环促生性

在对象阶段，通过对前两个阶段的铺垫让学生在经验中能够逐步抽象概括出概念的本质，并赋予这些经验性内容以具象化的定义和符号，使之成为思维中具体的对象。而到了图式阶段，它则是对前三个阶段在总体上的把握和升华，个体对概念本质的理解有了更为深层的认识。但这并不意味着个体对概念图式的理解已经固定。它还会处于不断地变化和发展之中的。在构建过程中，对象和图式这两个阶段还会以循环上升的形式交替进行，最终促使概念图式的不断丰富与创新。

参考文献：

[1]周建华.数学概念教学中有效提问的量化研究[J]. 中国电化教育，2012，(6)：96-100.

[2]Dubinsky E.APOS:A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research[C].1993.

[3]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001(3)：16-18.

[4]鲍建生，黄金荣，易凌峰，等.变式教学研究(再续)[J].数学教学，2003(3)：6-10.

[5]程华.在操作中体验，从过程中感悟，在感悟中建构：对APOS理论操作、过程阶段的思考[J].数学教学研究，2007(5)：2-5.

[6]兰冲.APOS理论下的函数概念认识及教学启示[D]. 武汉：华中师范大学，2006.

责任编辑：刘琳

On Conceptual Change Teaching from the Perspective of APOS

AIEr-ken·WU Mai-er, WANG Shouzhe

(College of Educational Science, Kashgar University, Kashgar 844008, China)

Abstract：APOS Theory is a core learning theory in individual’s concept learning, which consists of four continuous phases such as action, process, object and schema, having four characteristics of integrity, activity, development and particularity. The conceptual change teaching focuses on deep learning after the formation of the concept, making students grasp the essence of the concept through understanding from multiple perspectives, all aspects and levels. The proper integration between APOS Theory and the conceptual change teaching can effectively promote students to master the conceptual change of mathematics with the aid of the advantages of its own theory.

Keywords：APOS Theory; mathematical concept; conceptual change; teaching

收稿日期：2016-01-06

基金项目：教育部人文社会科学研究新疆项目(13XJJC880003)

作者简介：艾尔肯·吾买尔(1959-)，男，维吾尔族，教授，硕士生导师，主要从事数学与教学论研究。

中图分类号：G642

文献标志码：A

文章编号：1009-3907(2016)06-0094-04