熟悉的地方一样有风景

陈昭亮

[摘 要] 有经验的教师在处理教材时，易陷入轻车熟路，感到熟悉的地方没有新风景的尴尬. 本文提出了解决此问题的两条途径：一是老师“动”起来，能从高等数学的观点理解知识的来龙去脉，真正读懂教材；二是学生“动”起来，利用老师搭建的“脚手架”，进行深层次的思维参与，突破“懂而不会”的学习尴尬，实现有效学习.

[关键词] 课本问题；高等数学；合作探究

人们常说熟悉的地方没有风景，大概是因为熟悉而缺乏新鲜感，因熟悉而疏于发现的缘故吧. 教材中的有些题目或知识点，教师教了一遍又一遍，真正成了教师“熟悉的地方”，面对这些“熟悉的地方”，在备课时容易因为“熟路”而“轻车”，就会出现对知识之间的内在联系、转换关系等预设不够，导致对学生的课堂提问不能及时做出恰当的指导和评价. 下面与同行交流几个笔者在教学实践中的案例及思考.

案例1 高中数学必修1（北师大版）第73页的例14是：设三条直线l1：x+y-1=0，l2：kx-2y+3=0，l3：x-（k+1）y-5=0. 若这三条直线交于一点，求k的值.

解得k=-7或-2（舍去）. 所以 k=-7.

反思：教材中并没有解析k=-2舍去的理由. 有的老师可能对这一情况也没有深究，或者没有探究为什么把l1与l2的交点代入直线l3的方程中后会出现两个k值，而且还要把其中一个k值舍去.

探究：若我们把k=-2代入直线l2，l3的方程中，得到l2：-2x-2y+3=0，l3：x+y-5=0. 不难判断出l1∥l2∥l3. 其实，在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”. 就有三个结论：（1）通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点；（2）通过同一无穷远点的所有直线平行；（3）在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了.

这样在高等解析几何的观点下，我们就很容易解释为什么会出现k=-2和为什么要舍去k=-2这两点了.

案例2 高中数学必修1（北师大版）第121页的问题3是：如图1，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站. 现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站河边分别向情报中心铺设专用通讯电缆，怎样刻画专用通讯电缆的总长度？

解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通讯光缆长度（曲线段长度）就唯一确定了，因此，表示情报中心的数值与专用通讯电缆的总长度就构成一个函数关系.

现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成刻画线段长度的问题. 将“拉直了”的河道当作一个数值，不妨设A为原点，AB=b，AC=c，AD=d，AE=e，AF=f. 于是，水文监测站A，B，C，D，E和F的坐标就可以用0，b，c，d，e，f表示出来. 表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x表示，这样，对于给定的x的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度

？摇？摇f（x）=x+x-b+x-c+x-d+x-e+x-f.

反思：课本上的叙述到此“戛然而止”，让人觉得对该问题的解决尚未结束，当然，课本上这样的处理其目的是让学生感受实际问题的函数建模，重在感受建模的过程，而不是问题的结果.事实上，笔者在讲授这一部分知识时，很多学生也提出了问题“该题目中所需电缆的总长度的最小值是多少？作为数学教师，也应该对这一类绝对值和型函数的最值知其所以然.

我们应用这类问题的一般结论就很容易解决这个课本问题的最值是，当把情报中心修在C和D这两个水文监测站之间（含C和D这两个水文监测站）时，铺设的专用通讯电缆的总长度最少.

案例3 高中数学选修2-2（北师大版）《综合法与分析法》第12页习题1-2的第4题是：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1.

《数学（选修2-2）教师教学用书》上给出了本题的一种证明方法，记为思路1：它是利用了已知条件的结构特征进行联想，由a2+b2=1联想到三角函数中的cos2α+sin2α=1，故可令a=cosα，b=sinα，对c2+d2=1采用同样的方法，从而把原问题转化为三角函数问题.

证法1：令a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，则ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，得证.

反思：笔者在备课时，根据本题已知条件的a2，b2，c2，d2及结论中的ac+bd等结构特点，联想到构造柯西不等式证明. 记为

证法2：由柯西不等式知？摇（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），又因为a2+b2=1，c2+d2=1，从而（ac+bd）2≤1. 所以ac+bd≤1.

进一步，笔者根据a2+b2=1，c2+d2=1的结构特点，把它们看作向量m=（a，b），n=（c，d）模的平方，故可考虑转化为构造向量证明. 记为

所以m·n=mncos〈m，n〉=cos〈m，n〉，

又m·n=ac+bd，

所以ac+bd=cos〈m，n〉≤1.

笔者在备课时准备了以上三种证法，可以说是信心满满，自认为本题的一题三解，既能有益于学生思维的发展，又能展示出自己的“学识渊博”，但是当课堂进入学生交流阶段时，学生思维活跃，出现了意外的课堂生成，其解法记为下面的证法4和证法5.

探究 证法4：因为2=a2+b2+c2+d2=（a2+c2）+（b2+d2）≥2ac+2bd=2（ac+bd）≥2ac+bd，所以ac+bd≤1.

证法5：要证明ac+bd≤1，

只需证明（ac+bd）2≤1，

只需证明（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

只需证明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

只需证明2abcd≤a2d2+b2c2，

即0≤（ad-bc）2.

对教学的几点启示

1. 熟悉的地方一样有风景. 叶澜教授认为“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情的过程”. 这就要求我们教师要眼中有人，更要有一双会发现的眼睛，积极为学生的多元解读引路搭桥，启发学生解读的深度和广度. 不能因为“就熟”而“驾轻”，从而陷入“熟悉的地方没有风景”的尴尬境地. 如本文的案例3，对于“1”的不同联想，尤其是证法5中把1看成是1×1，真是神来之笔，突破了我们老师的思维定式.

2. 教师要真正地读懂教材. 只有加强对教材上的问题所体现的数学方法和数学思维的研究，才能更好地发挥教材的功能，才能引导学生在平凡的问题中发现更深刻的数学内涵，这其实也是教师课程智慧的一种体现. 华南师范大学刘良华教授认为：一个优秀的“教学工作者”首先是一个出色的“课程工作者”. 也就是说，他不是一个简单的“教教材”的人，他首先是一个“调整教材”、“补充教材”或“重新开发教材”的人. 如本文的案例1中，从为什么要把k=-2舍去的讨论引出射影几何中对平行的新认识，扩大了学生的知识视野，这种从教材中一道看似平淡无奇的问题入手，却能引导学生去发现这个小问题背后的大问题，正所谓“问渠哪得清如许，为有活水源头来”.

3. 教师要给学生搭建脚手架. 在解读教材时，教师除了要具有教师眼光之外，还要具有学生眼光. 这是指教师要能站在学生角度，从学生成长需要出发的思考，它遵循的不是“教师逻辑”，而是“学生逻辑”. 为此，教师就要考虑教材中的这个问题该从哪些视角、哪些层次进行探究，才能拓展其功能，如本文中的案例2在研究了函数建模之后，对学生提出的问题“该题目中所需电缆的总长度的最小值是多少”决不能不理睬，而应该指导学生寻根，探寻这类绝对值和型函数的最值. 这种在数学解题中，将源于基础的题目进行提炼与加工而形成结论，然后将其广泛应用于解题实践中，实际上就是在寻找题根.