对称多项式的应用

湖北省咸宁市崇阳县金塘中学 李优优

一、对称多项式的定义

定义1：n元多项式，如果对于任意的i,j, 1 ≤i

那么这个多项式称为对称多项式。

这就是说，如果任意对换两个文字的地位，恒不变，它就是一个对称多项式。

例如，就是一个三元对称多项式。特别的，

中的都是n元对称多项式，它们称为初等对称多项式

二、对称多项式的性质

性质1：两个对称多项式的和、差、积仍然是对称多项式。

性质2：对称多项式的多项式仍然是对称多项式

性质3（基本定理）：任一对称多项式可以唯一地表示为初等对称多项式的多项式。

即：设是几个变量的对称多项式，则有且仅有一个多项式存在，使得

性质4：一个m次对称多项式乘以一个n次对称多项式，其积比为一个m+n次对称多项式。

我们常常遇到下述形式的对称多项式：

根据基本定理，Sk可以唯一表示成初等对称多项式的多项式。

当n=2时，有：

当n=3时，有：

对称多项式的理论在初等代数中有许多应用，它能使我们简单而方便地解决某些问题。

三、对称多项式的应用

（一）解对称方程组

它的解法就是先把表示为的多项式，原方程组就变成为的方程组，新方程组往往较原方程组易于求解。如能解出就是一元n次方程的n个根，即是原方程组的一组解。由对称性，任意对换可得原方程组的n个解。

（二）分解对称因式

初等代数中经常会有一些关于多项式因式分解的问题，对于多元高次的多项式很多学生通常无从下手。但对于对称多项式，我们可以应用对称多项式的性质对对称多项式进行因式分解。

设的元对称多项式，将其分解因式的方法就是先应用公式(2)将表示成关于的多项式新的多项式通常可以直接分解因式，因此，将分解因式然后将替换成即可。

（三）证明对称恒等式

对于对称的恒等式要证明其左右相等，只用将等式右边移到左边变成一个对称方程，然后根据3.1的方法解出方程即可。

（四）简算对称多项式之积

对于对称多项式若直接根据中学所学知识各项相乘则相当繁琐，然而根据对称多项式的性质1，两个对称多项式的积仍然是对称多项式，我们只用把第一个因式的第一个单项式乘以第二个因式，然后根据轮换的规律写出其余各项即可。

（五）利用对称多项式性质化简求值

在化简求值问题中，如果遇到题目中所给的条件中的多项式以及所要求的多项式都是对称多项式时我们可以利用对称多项式的性质进行化简，然后得出结果。具体过程如下：

首先根据性质3，将题目中的条件用初等对称多项式来表示，列出初等对称多项式方程组并解之，得出的值，然后根据题目问题需要灵活运用这些值即可。

（六）应用对称多项式计算初等概率

在初等概率计算之中经常会出现对称多项式，例如，

如果为个相互独立的事件。令要求下列事件的概率：

1.此n个事件全不发生；

2.此n个事件中至少发生一件；

3.此n个事件恰好发生一件。

可以利用对称多项式的性质来进行计算。

四、小结

综上所述，初等对称多项式在初等代数中总共有六种应用，分别是解对称方程组、证明对称的恒等式、分解对称多项式、利用对称多项式的性质化简求值、简算含有对称性质的多项式乘法、利用对称多项式的性质进行初等概率计算。而这六种应用都可以用于中学生解题，特别是解竞赛题。于此同时，还可以缩短解解题步骤以达到简算的目的。