浅谈数列是函数

辽宁省锦州市太和区高级中学 王曙光

我们在讲授人教B版必修五第二章第一节数列基本概念时，教材上是这样叙述的：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。实际上就是告诉我们，数列的实质是函数，理解好这一点，对于我们更好的把握数列这一概念，以及掌握解决数列有关问题的基本方法，会有很大帮助，现分析如下。

一、从数列定义看

按照一定的次序排列起来的一列数叫做数列。对于数列{an}每一项的序号n，在数列中都有唯一的一项an与之对应，序号n与这一项an的对应关系，符合映射的定义，实际上，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射，因为是两个非空数集之间的映射，所以也是函数，因此从数列定义能够看出数列是函数。

二、从数列的表示方法看

数列的表示方法有三种，列表法、图像法、解析式法。例如，数列分别可以表示如下：

只是在用图像法表示数列时，注意数列的图像是一群孤立的点，这是数列这一函数的定义域决定的。另外用解析法表示数列时，不但可以用通项公式表示(就是函数的解析式)，也可以用递推公式来表示数列。

三、从数列性质看

在讨论数列性质时，常常考察数列的最大（小）项是，数列的单调性，数列的周期性，数列项的符号的变化规律等等，这些性质都和函数的性质是一致的。

从以上几点，我们很清楚地感受到数列是函数，是一种特殊的函数这一事实。如果能从函数这一角度去看待数列，解决数列的有关问题，许多问题迎刃而解，很多方法就就会很容易想到和接受。

（一）函数中已知函数解析式，可实现自变量与函数值的互求，类似的数列中，已知通项公式，序号和项互求

例1.数列{an}的通项公式是an=3n-4，那么3n-1是数列的第几项？该数列的第2n项是什么？

分析:此题相当于函数中的已知解析式，然后函数值与自变量互求。

解:设am=3n−1 Qan=3n−4

∴ 3m−4=3n−1m=n+1

∴3n-1是数列的第n+1项 a2n=6n-4

例2.设数列{an}的第n+1项是n(n+1)，求该数列的首相及通项公式。

分析:此题目相当于已知f(x+1)=x(x+1),求f(x). 可用换元法,也可以利用构造法。

解：法(1)：(换元法)设m=n+1，则n=m-1, ∴am=n(n+1)=(m-1)m,∴an=n(n-1)∴a1=0

法(2)：(构造法)∵an+1=n(n+1)=［(+1)-1］(n+1) ∴am=n(n-1) ∴a1=0（二）函数中已知解析式还可以讨论函数的单调性、周期性及求最值。类似的数列也谈论这些性质，而且方法与函数一致

例3.数列的通项公式为它的前30项中最大项是第几项？最小项是第几项？

分析：此题可直接考查函数在（0，∞）上的单调性即可，方法完全是函数的方法。

解：

又∵n∈N+∴n≤9时 {an}递减，且an<1,当n≥10时，{an}递增，且an>1

∴当n=9时 an最小，当n=10时，an最大。

四、从等差和等比这两个特殊数列来看

等差数列若d≠0，则它的通项公式是一次函数，前n项和公式是没有常数项的二次函数，等比数列若q>0且q≠1，则它的通项公式及求和公式与指数函数有关系，解题时常可利用这个。

例4.等差数列{an}{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且

分析因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，且没有常数项，所以可分别把两个数列的前n项和设出，进而求解，当然也可以利用等差数列的性质来解。

此法利用等差数列的性质。

五、数列是函数，函数的问题也可借鉴数列的方法解决。

例5.已知函数f(x)=│x-1│+│x-2│+│x-3│+…+│x-20│，x

(1)分别计算f(1)，f(5)，f(20)的值。

(2)当x为何值时，f(x)取得最小值？最小值是多少？

因为自变量 ,所以考虑到可把看作 ，即可求解。

解：(1)

f(1)=│1-1│+│1-2│+…│1-20│=1+2+…+19=190

f(5)=│5-1│+│5-2│+…│5-20│=4+3+2+1+1…+15=130

f(20)=│20-1│+│20-2│+…│20-20│=19+18+…+1=190

(2)∵1≤9时，2x-20>0,当x=10时，2x-20=0,当x≥11时，2x-20>0时。

∴f(1)>f(2)>…>f(10)=f(11)

∴当x=1 0或1 1时，f(x)取得最小值，最小值为f(10)=f(11)=│10-1│+│10-2│+…│10-20│=9+8+7+…+1+1+2+…+10=100

综上所述，数列是函数，从这一角度去分析解决数列问题，很多问题都能自然的找到解决问题的途径和办法，因此在教学过程中，不要忽略对数列实质的挖掘，要重视数列就是函数这一事实的教学，以便拓宽我们的思路，把握问题实质。