"函数零点"常见题型及案例分析

◇　河北　王　彬



"函数零点"常见题型及案例分析

◇河北王彬

“函数零点”是高考的重点、难点,这部分内容常与方程、不等式等结合考查,因此我们在复习时要重视对函数零点的复习,本文就这一部分常见的题型及求解进行分析,望能有助于教学实践．

1函数零点的判断与求解

A(-1,0);B(0,1);

C(1,2);D(2,3)

2根据函数零点的存在情况,求参数的值

g(x)=x+e2/x (x>0).

(1) 若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围;

(2) 确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有2个相异实根.

方法2: 作出g(x)=x+e2/x(x>0)的大致图象如图1. 若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.

(2) 若g(x)-f(x)=0有2个相异实根,即y=g(x)与y=f(x)的图象有2个不同的交点,在同一坐标系中,作出函数g(x)=x+e2/x(x>0)与f(x)=

-x2+2ex+m-1的大致图象如图2.

图1　　　　　　　　　图2

因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2，其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)有2个交点,即g(x)-f(x)=0有2个相异实根.

所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

3与二次函数有关的零点问题

1) 当f(-1)=0时,a=1,所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有2个实数根,不合题意,故a≠1.

综上,a的取值范围是(-∞,-1/5)∪(1,+∞).

(作者单位：河北丰润车轴山中学)