《线性代数》教学中若干难点的探讨

郭宏艳

摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。

关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）22-0226-02

《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决問题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。

一、线性相关性与线性无关性

线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。

对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。

二、极大线性无关组及向量组的秩

由于极大线性无关组和向量组的秩的概念比较抽象，学生较难理解，所以这一知识点也是《线性代数》教学的重点和难点。我们所用的教材是在讲述了线性相关性和线性无关性之后，直接给出极大线性无关组及向量组秩的概念，学生很难理解并掌握这两个抽象的概念。针对这一情况，在教学中可以通过一个例子提出问题，在解决该问题的过程中总结归纳出极大线性无关组和向量组秩的概念，用简单具体的实例阐明抽象的概念。这样一来，教师在教学过程中会轻松些，学生学起来也不那么枯燥无味。

例如：判断向量组β1=100，β2=010，β3=121，β4= 1 0-1的线性相关性。首先我们可以根据前面所学的知识判断出向量组β1，β2，β3，β4是线性相关的。紧接着，让学生找出向量组β1，β2，β3，β4中线性无关的子组。通过分析，学生们会发现，在线性相关的向量组β1，β2，β3，β4中，存在线性无关的子组，且这些线性无关的子组所含向量的个数都为2。在此基础上，进一步引导学生总结出，向量组中的线性无关子组并不是唯一的，但是所含向量的个数是相同的，都是2，并且其余向量都可以由线性无关的子组线性表示。最后总结出向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念。向量组β1，β2，β3，β4的线性无关的子组β1，β2；β1，β3或β3，β4等称为向量组β1，β2，β3，β4的极大线性无关组，极大线性无关组所含向量的个数2称为向量组β1，β2，β3，β4的秩，记为R（β1，β2，β3，β4）=2。然后再将这两个概念推广到更普遍的情况，归纳总结出向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念。

若向量组的一个子组线性无关，但将向量组中任何一个向量添加到这个线性无关子组中去，得到的都是线性相关的子组，则称该线性无关子组为向量组的极大线性无关组。一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。通过恰当的例子引出新的概念，此种方法化抽象为具体，学生更容易接受并掌握相关概念。

由此可见，在《线性代数》的教学过程中，对于一些抽象的概念，直接阐述很难达到理想的教学效果。面对这些教学难点，我们可以结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念；或者通过引入恰当的例子，在解决问题的过程中把要讲述的新概念归纳总结出来。总之，在《线性代数》的教学过程中，要灵活运用多种教学方法，才能发挥最好的教学效果，达到教学设计的目标。

参考文献：

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