函数思想在中学数学解题中的应用研究

陈明岩 高云柱

【摘要】 文章论述了函数思想在不等式、方程、数列等方面的应用. 说明函数思想不仅在数学中很多方面都能得到运用，是数学各分支的一个纽带，而且通过函数思想能够把一个复杂的问题简单化. 系统的函数思想对于高中数学的学习裨益匪浅.

【关键词】 函数思想；不等式；方程；数列

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究. 它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点. 一般的，函数思想是构造函数（即“规定思想”）从而利用函数的性质（已知 + 未知 + 规定思想）解题.

函数思想是贯穿高中数学各个分支的一种很重要的思想，学会建立函数模型，以函数的观点看待问题，往往给解决问题带来很大的裨益. 函数思想是指应用函数的各种性质包括定义域，值域，单调性，周期性，奇偶性，对称性等来有效地对问题进行简化. 在解题过程中，通过建立函数的模型，把方程，数列，不等式等其他问题转化为函数问题，往往能给解题带来很多简单，便捷的思路. 近年来，函数以其多样的性质，灵活的应用，越来越成为高考试题的核心，因此应当引导学生建立函数思想，学会以函数思想看待问题.

下面我们分别从函数与方程，函数与不等式，函数与数列三个方面来阐述函数思想，即用函数思想解答非函数问题. 一、函数思想在不等式中的应用

不等式是用不等号联系起来的两个解析式，因此不等式的问题也可以转换为函数的问题，从而利用函数的观点和思路解决.

例1 设不等式2x - 1 > m（x2 - 1）对满足|m| ≤ 2的一切实数m 均成立，试求实数x的取值范围.

分析 碰到这个题的时候，往往会有这样的思维定式，总是希望通过解x的不等式来解决这个问题，其实我们可以换一个角度，把这个不等式转化为关于m的函数，这样题目就转化为函数的值域问题了.

解 问题可变成关于m的一次不等式：

（x2 - 1）m - （2x - 1） < 0在[-2，2]上恒成立.

点评 本题的关键是在于选取适当的自变量，就能把问题变得很简单，思路也会很清晰.

一般的，在处理多个变量的不等式问题中，关键是选取合适的变量参数，把变量的关系明朗化. 或者在含参数的不等式中，有效地变换参数和自变量的位置，以参数为函数，更加灵活的处理问题.

二、函数思想在方程中的应用

点评 在解决方程的问题中，我们的一个常见的思路就是把方程的两边分别构造成两个函数，通过两个函数的图形上的相交来看待方程的解的问题.

三、函数思想在数列中的应用

数列可以看作定义域为正整数集的函数，数列的表达式往往可以看作函数的解析式，因此，我们可以运用函数的思想解决数列的问题.

点评 这个题虽然比较简单，但是很好的体现了数列与函数的关系，在做数列的很多问题的时候，我们可以把数列问题转化为函数问题，再利用函数的性质，比如单调性，周期性等巧妙的把问题解决.

四、结 语

函数思想问题中涉及很多知识点，在数学中很多方面都能得到运用，是数学各分支的一个纽带. 针对方程、不等式、数列问题应该善于通过换元、构造函数，对换主元等手段转化为函数问题加以解决. 应当理解函数存在的各种性质，这是解决函数相关问题的核心，往往通过函数的性质能够把一个复杂的问题简单化，系统的函数思想对于高中数学的学习裨益匪浅.

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键. 对所给问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型.