陈明岩 高云柱
【摘要】 文章论述了函数思想在不等式、方程、数列等方面的应用. 说明函数思想不仅在数学中很多方面都能得到运用,是数学各分支的一个纽带,而且通过函数思想能够把一个复杂的问题简单化. 系统的函数思想对于高中数学的学习裨益匪浅.
【关键词】 函数思想;不等式;方程;数列
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究. 它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点. 一般的,函数思想是构造函数(即“规定思想”)从而利用函数的性质(已知 + 未知 + 规定思想)解题.
函数思想是贯穿高中数学各个分支的一种很重要的思想,学会建立函数模型,以函数的观点看待问题,往往给解决问题带来很大的裨益. 函数思想是指应用函数的各种性质包括定义域,值域,单调性,周期性,奇偶性,对称性等来有效地对问题进行简化. 在解题过程中,通过建立函数的模型,把方程,数列,不等式等其他问题转化为函数问题,往往能给解题带来很多简单,便捷的思路. 近年来,函数以其多样的性质,灵活的应用,越来越成为高考试题的核心,因此应当引导学生建立函数思想,学会以函数思想看待问题.
下面我们分别从函数与方程,函数与不等式,函数与数列三个方面来阐述函数思想,即用函数思想解答非函数问题. 一、函数思想在不等式中的应用
不等式是用不等号联系起来的两个解析式,因此不等式的问题也可以转换为函数的问题,从而利用函数的观点和思路解决.
例1 设不等式2x - 1 > m(x2 - 1)对满足|m| ≤ 2的一切实数m 均成立,试求实数x的取值范围.
分析 碰到这个题的时候,往往会有这样的思维定式,总是希望通过解x的不等式来解决这个问题,其实我们可以换一个角度,把这个不等式转化为关于m的函数,这样题目就转化为函数的值域问题了.
解 问题可变成关于m的一次不等式:
(x2 - 1)m - (2x - 1) < 0在[-2,2]上恒成立.
点评 本题的关键是在于选取适当的自变量,就能把问题变得很简单,思路也会很清晰.
一般的,在处理多个变量的不等式问题中,关键是选取合适的变量参数,把变量的关系明朗化. 或者在含参数的不等式中,有效地变换参数和自变量的位置,以参数为函数,更加灵活的处理问题.
二、函数思想在方程中的应用
点评 在解决方程的问题中,我们的一个常见的思路就是把方程的两边分别构造成两个函数,通过两个函数的图形上的相交来看待方程的解的问题.
三、函数思想在数列中的应用
数列可以看作定义域为正整数集的函数,数列的表达式往往可以看作函数的解析式,因此,我们可以运用函数的思想解决数列的问题.
点评 这个题虽然比较简单,但是很好的体现了数列与函数的关系,在做数列的很多问题的时候,我们可以把数列问题转化为函数问题,再利用函数的性质,比如单调性,周期性等巧妙的把问题解决.
四、结 语
函数思想问题中涉及很多知识点,在数学中很多方面都能得到运用,是数学各分支的一个纽带. 针对方程、不等式、数列问题应该善于通过换元、构造函数,对换主元等手段转化为函数问题加以解决. 应当理解函数存在的各种性质,这是解决函数相关问题的核心,往往通过函数的性质能够把一个复杂的问题简单化,系统的函数思想对于高中数学的学习裨益匪浅.
在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键. 对所给问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型.