在表征中磨砺思维在建模中渗透思想

冯桂群

【关键词】近似数；表征；建模；数学思维；数学思想

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）11-0056-03

【课前思考】

《近似数》是苏教版教材四年级下册的学习内容，在此，教材第一次正式提出近似数的概念，并要求学生用“四舍五入法”求较大数的近似数。按照瞻前顾后、提前渗透的编排原则，2014年秋之后的苏教版新教材在正式学习近似数之前就安排了相应的学习内容。如：在二年级下册就向学生介绍了什么是“约等号”，要求学生判断某些三位数或四位数接近几百或几千。即便如此，用“四舍五入法”求多位数的近似数仍是教学上的难点。主要原因有：（1）有关多位数的读写、估算等历来是学习的一大难点；（2）教材在一课时内同时呈现求多位数近似数的三种类型和三种表述方式，容量大，易混淆；（3）求多位数的近似数要省略的尾数位数很多，而用“四舍五入法”时只看尾数最高位；（4）这里的省略尾数与语文学习中“省略即去掉”的含义是不相同的，学习时容易出现负迁移。

基于对教材和学生的解读与分析，我们紧扣求近似数的数学本质，引领学生生成了极具生长性和结构性的求近似数的思维流程，并着力引领学生在画图、标注、表述等多元表征中明晰思路、凸显方法、建构模型，以期突破教学难点，磨砺学生的数学思维，提升他们的数学素养。

【教学过程及意图】

一、在生活情境中走近近似数

孩子们，知道这位慈祥的老人是谁吗？对，他就是我国著名的数学家华罗庚。请看他的一段名言，齐读：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

无处不用数学！说得多好啊！我们身体里就藏着有趣的数学，请看一组数据——成年人全身有206块骨头，人的舌头由17块肌肉组成，人大脑中的神经细胞有100亿左右，咽喉是人体最繁忙的通道，在人的一生中大约有40吨食物通过。上面的数中，有的能够精确地描述事物的实际数量，我们称为精确数；有的是跟精确数比较接近的数，我们称为近似数，今天这节课我们就一起来研究近似数。（板书：近似数）

由华罗庚的名言引出生活中的数学，再引出精确数与近似数，这样的导入让学生感到亲切、自然，更让学生在丰富而鲜活的数学文化中感受到数学与生活的联系，从而产生探究近似数的热情，在生疑和提问中兴致勃勃地走进探究之旅。

二、在探究情境中研究近似数

1.认识近似数。

上面的4个数中，哪些是精确数？哪些是近似数？你是怎么想的？

从“左右”“大约”这两个词可以看出，其中的“100亿”和“40吨”这两个数不是精确数，而是和精确数比较接近的近似数。

生口答书上第22页的“练一练”。

在生活或学习中，你还见过哪些近似数？老师这里也有一些近似数，谁来读一读？（我们每个人的头发有10万根左右；我国现有人口约14亿；我国国土面积大约是960万平方千米……）看到这些近似数，你有什么感受？

在计算中我们也遇到过近似数，比如在进行□□□÷8□的试商过程中，我们常用多少来快速试商的？（80或90）在这里，80其实就是哪些数的近似数？（81—84）90呢？（85—89）

小结：在生活或学习中，有时需要用精确数，有时用近似数来表示反而更方便、更快捷！

从社会生活中的近似数到数学计算中的近似数，让学生亲历建构近似数概念的过程，使他们感悟到近似数在实际生活与学习中的广泛运用，同时激活了学生用“四舍五入法”求近似数的相关旧知，为他们的进一步学习埋下了伏笔。

2.在数形结合中求近似数。

过渡：我们已经会求两位数的近似数了，那较大数的近似数该如何来求？请看一组信息（呈现例7，生读题）。

这个城市的实际人口会跟表中的数量一样始终不变吗？为什么？对了，由于每时每刻都可能会有人出生或死亡，所以这个市的人口总是在不断变化，不过这种变化的幅度一般很小，所以通常用近似数来表示人口，那这个市的男性和女性人数各接近多少万呢？（生口答：38万，39万）

启发：是不是这样呢？我们不妨借助直线图来验证一下。在这条直线上，这两点分别表示38万和39万。将这两点间的一段平均分成10份，每份是多少？你是怎么想的？让我们从38万起一千一千地数到39万。数出的数中哪个恰好在38万和39万的正中间？对，这一点就表示385000。那表示男性和女性人数的点大约在直线的哪个位置呢？在作业纸上分别描出来，再指给同桌看一看。

追问：仔细观察，男性和女性的人数各接近多少万？你是怎么想的？

小结：无论是观察图上点的位置，还是比较它们千位上数的大小，我们都发现男性人数接近38万，女性人数接近39万。精确数和它的近似数之间要用什么符号连接？（约等号）所以，384204≈38万，386685≈39万。

通过例题的学习，让学生感受到一个城市的人口是不断变化的，一般情况下很难也不需要得到一个精确数，所以通常用近似数来表示人口，从而突显了近似数的本质特征。之后，让学生借助直觉、画图和看千位上数字的大小等方法，得出男性人数和女性人数分别接近38万和39万，为下面介绍用“四舍五入法”求近似数积累了丰富的表象与活动经验。

3.用“四舍五入法”求近似数。

说明：为了方便、快捷地求一个数的近似数，通常要用到“四舍五入法”。

以386685为例，要将它保留到万位，就是要省略哪一位后面的尾数？看尾数的哪一位“四舍五入”？何时“四舍”？何时“五入”？（板书：保留到万位就是省略万位后面的尾数；看尾数最高位上的数“四舍五入”；0—4；5—9）在这里，保留部分是多少万？（38万）再看要省略的尾数最高位上是多少，是“四舍”还是“五入”，最后将尾数的各位都改写为0，求得约等于390000，当然也可以写成以“万”作单位的数（39万）。谁能连起来说一说如何求它的近似数？（先看保留部分是38万，再看尾数最高位上是6，要“五入”，向前一位进1，最后求得约等于39万）

强调：为了清晰地展示求近似数的过程，建议大家用横线标出保留的部分，用小点标出尾数的最高位，“五入”时在前一位上方标出要进的1。

如何求男性人数的近似数呢？你能清晰地写出解题思路吗？在作业纸上写一写，再跟同桌说一说。看！ 写对了吗？谁来说一说思路？（先看保留部分是38万，再看尾数最高位上是4，要“四舍”，最后求得约等于38万）

追问：用“四舍五入法”求得的近似数，和刚才看图求得的结果一样吗？要快速求一些数的近似数，你选择画图法还是“四舍五入法”？为什么？

用“四舍五入法”完成教科书第24页的第7题。之后请某个4人小组上台来展示解答过程。

追问：用“万”作单位写近似数，是什么意思？（就是保留到万位求近似数，就是省略万位后面的尾数求近似数）对，这3种说法表达的是一个意思。

启发：大胆推想一下，如果要保留到亿位求近似数，怎么办？（保留到亿位，就是省略亿位后面的尾数，看尾数最高位上的数“四舍五入”）

生独立完成教科书第24页的第6题，并交流思路。 启发：再大胆推想一下，只保留一个数的最高位求近似数，怎么办？（保留到最高位，就是省略最高位后面的尾数，看尾数最高位上的数“四舍五入”）

请看705，你能保留它的最高位求近似数吗？可以怎么想？（先看最高位上是7个百，再看尾数最高位上是0，要“四舍”，最后求得约等于700）教科书第24页第9题的其余4个数，你也能这样求它们的近似数吗？写好了在4人小组里交流并准备展示。

生独立完成后请某个4人小组上台交流展示。

追问：刚才我们研究了如何省略万位、亿位和最高位后面的尾数求近似数。数学上的省略尾数，是不是说不管尾数是大是小，一律省略不看？（省略前要看尾数最高位，确定是“四舍”还是“五入”）你觉得求近似数时要注意什么？（要明确保留的部分在哪里，省略的尾数最高位在哪里，尾数最高位上是0—4就“四舍”，是5—9的就“五入”）

借助由扶到放的探究过程，学生完整地经历了用“四舍五入法”来求一个数保留到万位、亿位和最高位的近似数的过程，并借助标注和表述，生成了具有结构性、生长性和通融性的思维流程（先……再……最后……），同时提炼出了直击数学内核的解题模型，即将某数保留到某位，就是省略某位后面的尾数，看尾数最高位上的数“四舍五入”，很好地凸显了求近似数要关注的两个关键点——保留部分和省略部分的最高位，使看似复杂的知识及其内在联系顿时变得清晰起来，很好地突破了学习难点。

三、在应用情境中活用近似数

1.求我国总人口的近似数。

2010年的人口普查显示我国总人口为1370536875人。如果将它分别省略最高位、亿位、万位后面的尾数求近似数，结果是多少呢？请将思路清晰地写出来并在4人小组里交流。

追问：比较一下，用哪个近似数来表示我国人口数更好些？（“14亿”既简洁又更接近精确数）

小结：看来，究竟要保留到哪一位求近似数，要根据实际情况灵活确定。

2.完成教科书第24页的第10题。

通过求我国总人口的近似数，既让学生感受到近似数在实际生活中的广泛运用与实际价值，又巩固了求近似数的三种类型，培养了学生活学活用的实践能力。

四、在反思情境中总结提升

1.总结反思：这节课你有哪些收获？

2.拓展延伸：孩子们，还记得我们身体里的数学吗？人一生要吃下大约40吨食物。看到这个近似数，小明决定用实际行动来报答地球母亲。他去年全年共收集的饮料瓶数保留最高位约2000只。如果这2000只是用“四舍”的方法得到的，那原来的数量最大是（ ）只，最小是（ ）只；如果是用“五入”的方法得到的，那原来的数量最大是（ ）只，最小是（ ）只。这一问题就留着大家课后去研究，希望大家和小明一样，争做环保小达人。

借助总结反思，让学生对本节课的学习内容有一个清晰而完整的理性认识；借助拓展延伸，渗透感恩教育和环保意识，让学生在解决富有挑战性的实际问题中将数学学习由课内延伸到课外。

【教后反思】

1.让学生在标注、表述等多元表征中成为数学思维的高手。

教学实践表明，凸显数学本质同时又适合学生表达的多元表征，是引领学生成为思维高手的重要抓手。仔细研读教材，我们会发现，无论是四年级求大数的近似数还是五年级求小数的近似数，都涉及这个数的保留部分和省略部分的最高位。所以，将这两个关键部分标注出来，并将解答过程有序、清晰、动态地表征出来，就成了引导学生学会思考的重要脚手架。为此，教师引导学生借助数学符号将求近似数的过程标注得一清二楚，同时引领学生借助关联词先、再、最后等将思维流程大声表达出来，从而使看似复杂的隐性思维过程得以显性化、有序化、条理化，同时强化了学生的符号意识和策略意识，培养了学生的推理能力和表达能力。

2.让学生在抽象、推理等多维思考中成为数学建模的高手。

布鲁纳说：“获得知识如果没有完美的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的结论在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”仔细分析求大数近似数的三种类型（保留到万位、亿位和最高位），我们发现了它们的共同点——保留到哪一位，就要省略那一位后面的尾数，看尾数最高位上的数“四舍五入”。于是，我们借用一个结构完全相同的句式，引导学生在抽象、推理中建构求近似数的数学模型——保留到（ ）位，就是省略（ ）位后面的尾数，看尾数最高位上的数“四舍五入”。这样，求近似数的知识随着统一的数学模型的建构变得“百毛皆顺”，学生成了数学建模的高手。

（作者单位：江苏省南通师范学校第一附属小学朝晖校区）