试论三角函数解题技巧

江西省南昌十七中学 许义恒

试论三角函数解题技巧

江西省南昌十七中学 许义恒

三角函数是中学数学的教学重点之一，同时也为高等数学打下基础。掌握三角函数的解题技巧，有助于提高中学生的数学成绩，从而提高学习数学的积极性。本文列举经典例题，讲解实用的解题技巧。

初等数学；三角函数；解题技巧

函数在中学数学中占据很重要的地位，很多问题都是围绕函数来解答的，由于函数的抽象性［1］，解题的难度也是较大的。以三角函数为例，其运算关系复杂，解答时较难入手，运算过程中很容易出错。这主要是因为，学生没有掌握答题技巧，不能分析和解答三角函数题目，这很容易打击学生学习三角函数的积极性。因此，教师在讲解三角函数知识的同时，还应该通过例题的讲解，向学生传授解题技巧，从而提高学生解答三角函数题目的能力，一定程度上提高数学成绩。

一、巧引参数，提高效率

中学数学中三角函数占很重要的地位，在数学考试中，三角函数在总分数中占很大比重，掌握三角函数的知识和解题技巧，可以很好地提高数学成绩。根据本人的教学实践经验，讲解巧引参数来解答三角函数问题。

例题1 求证sin8θ+cos8θ≥1/8。

解析 从题目所给的关系式可以推断，本题考查sin2θ+cos2θ=1平方关系式，并且涉及等差数列的性质，学生可以很容易地发现sin2θ、1/2、cos2θ三者其实是等差数列。设sin2θ=1/2―d、cos2θ=1/2+d，并且-1/2≤d≤1/2，将两式代入原式中，展开各式并合并同类项后，就可以很容易证得结论。

当然这道题目也可以用常规方法解答，但过程较复杂，解答过程很容易出错，不利于提高解题的效率和准确性。通过巧引参数，能使题目的解答变得更加简单快捷，而且能够保证解题的准确性。但是在学生不了解解题技巧的情况下，很容易被题目的复杂程度蒙骗，而不知道该如何下手解决。学生掌握解题技巧后，遇到同类型题目时就能够轻松应对，准确解答。

二、升幂降幂，化繁为简

在解答三角函数题目时，还经常会用到升幂降幂的方法，这一技巧也是很有效的。应用此方法，能够很有效地化简题目，学生能够很快地发现规律，题目的结果也就一目了然。升幂降幂解题技巧在使用前，要先掌握2cos2α―1=1―2sin2α=cos2α、sin2α+cos2α=1等公式，因为这些公式能够有效升幂降幂，从而化简原式，学生就能正确求证求解。

例题2 化简（1-cos4α-sin4α）/（1-cos6α-sin6α）。

解析 本题既可以升幂，也可以降幂，而且都是通过运用公式sin2α+cos2α=1，升幂就是对公式的逆用，降幂就是正用。当我们运用公式将原式做升幂或降幂处理的时候，就会得到下面两个截然不同的式子，即：

升幂：原式=［（cos2α+sin2α）2―cos4α―sin4α］/［（cos2α+sin2α）2-cos6α-sin6α］。

降幂：原式=［1―（cos4α+sin4α）］/［1―（cos6α+sin6α）］。

然后，将它们一步步推导，便很容易得到结果，得到后结果都是2/3。

通过对例题的分析可以发现，升幂和降幂本质上就是对一些公式的正用和逆用［2］。在使用这一技巧时，能够有效化简原式，使学生能够迅速解答这类题目。因此，在掌握三角函数公式的同时，要学会相关的技巧，不仅有利于公式的运用，还能更有效地解答题目。

三、化弦为切，简化习题

化弦为切是解答三角函数题目时经常用到的解题技巧之一，这种技巧的使用很方便而且高效。所谓化弦为切，就是利用弦函数与切函数之间的关系式，如sinα/cosα=tanα，将原式变成只含有切函数的形式，从而只对切函数进行运算。这时，三角函数题目就变成代数运算了，简单明了。

例题3 已知tanα=2，求（4sinα-2cosα）/（5cosα+3sinα）的值。

解析 首先观察题目，题目给出了正切函数的值，让求解的原式中含有正弦余弦函数，这就提示要用到化弦为切的技巧。而且由题意可知cosα≠0，将原式的分子分母同除以cosα，就可以得到只含有正切函数的式子，将正切函数的值代入即可求得原式的值，即：

原式 =［（4sinα-2cosα）/cosα］/［（5cosα+3sinα）/cosα］=（4tanα-2）/（5+2tanα）=6/11。

在这道题目里，我们选择了合适的解题技巧，化弦为切，很迅速很准确地求得结果。这就提醒我们，在能用解题技巧时，尽量不要使用常规方法，避免浪费时间，而且容易在复杂的推导过程中出错。使用解题技巧，可以提高学生学习数学的积极性，从而提高数学成绩。

总之，努力学习，坚持不懈地提高知识水平是值得鼓励的，但也要掌握有效的解题技巧。对于中学数学的学习也是如此，学生要记住基本定义、基本公式和基本规律等，也要注重培养学生的数学思维，掌握巧妙的解题技巧。目前，中学生所要学习的科目非常多，他们没有更多的时间去钻研数学解题技巧。因此，这便需要我们数学教师在平日的课堂教学中加强解题技巧的培养，从而让他们在面对各类数学习题的时候无往而不胜［3］。

［1］朱健忠.例析三角函数的解题技巧［J］.理科考试研究，2014，（21）：14.

［2］葛贻文.如何有效提高三角函数解题技巧的课堂教学［J］.理科考试，2014（15）：30-31.

［3］朱思文.浅谈高中三角函数解题技巧［J］.高中数理化，2014（16）：8.