小学数学合情推理要素分析及优化

廖　翔

(广西师范学院初等教育学院(长罡校区)，广西 南宁 530023)

小学数学合情推理要素分析及优化

廖翔

(广西师范学院初等教育学院(长罡校区)，广西 南宁 530023)

[摘要]从《义务教育数学课程标准》中合情推理的定义出发，分析了合情推理实现过程的三个主要因素：事实、归纳法和经验，并从“提高事实的清晰度(情境体验—客观描述—抽象概括)、提升归纳法的使用效率(知识准备—材料支撑—演绎分析)、加快推理经验的积累速度(回顾反思—形成模式—自我尝试)”三方面给出了各要素的优化途径。

[关键词]合情推理；归纳法；优化途径；小学；数学

数学的发展离不开推理，推理包括合情推理和演绎推理，通过合情推理可以获得数学猜想，如果猜想能得到演绎推理的证实，就成为新的数学定理或公式。同样，小学生的数学学习也离不开推理，尤其是合情推理，其本质就是在已知的基础上探索出新结论，经历合情推理过程,有助于新知识的意义建构，有助于创新思维的提高。

一、数学合情推理要素分析

《义务教育数学课程标准》指出：“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。”这一定义涵盖了合情推理实现过程必不可少的三个主要因素：事实、归纳法和经验。

1.事实——合情推理的基础

事实乃是对呈现于感官之前的事物或现象的某种实际情况(某物具有的某种性质或某些事物具有某种关系)的一种断定或陈述。[1]要获得事实，首先是感知具体事物或事件，然后发现其中蕴藏的性质和关系，最后能够用语言表述出来。可见，事实是个人通过感官和思维加以确认的真命题。罗素说过：“任何一个诚实的推理者都是根据信以为真的命题进行推理的。”没有事实，合情推理就无从进行。数学课堂的合情推理，必以数学事实为基础展开。数学事实就是用数学语言(包括文字、数学符号、图表)表述的有关数(量)、形特征或规律的事实。那么，小学生的数学事实从何而来呢？由于小学生还处于以具体形象思维为主向抽象思维的过渡期，不能自觉自如地运用数学概念和符号，他们认定的数学事实必来源于具体生动的体验：一是源于可以理解生活事件，可称之为生活类数学事实；二是源于正确的数学计算、作图、操作活动等，可称之为实践类数学事实。在此基础上还需要实现“数(量)、形的特征—自然事实—数学事实”的两个转化，如“从学校回家有不同的路线选择”是小学生体验过的生活事件，他们能直观地看出路线的长短，说出路线的数量关系：“两条路合起来比另一条路长”。这是用自然语言表述的自然事实，经过抽象及数学概念“和、边、大于”的运用才能转化为数学事实即“这一个三角形的两边之和大于第三边”。较之于自然事实，数学事实明确而精细，其中包含的数学符号和概念有利于后续推理活动的判别、比较、计算、分析。教师引导合情推理首先要保证小学生头脑中数学事实的清晰度。

2.归纳法——合情推理的工具

归纳的本质就是“从个别到一般”，在小学数学的合情推理中，归纳法又可以细分为枚举归纳、类比和统计推断。枚举归纳法和统计推断都是找到有限个同类事物的共有事实，然后推广：如发现5个三角形都有任意两边之和大于第三边的事实，从而推出所有三角形的任意两边之和大于第三边，这是枚举归纳法；又如从放有红球和白球的盒子里随意拿出一个(拿出放回摇匀)，这样的实验重复20次，计数比较后发现拿出的红球次数比白球的次数多，重复30次、40次，都是拿出的红球次数比白球的次数多，从而推断出无论拿多少次，都是拿出的红球次数比白球的次数多(即任意拿一次，得到红球的可能性大)。这是统计推断。从以上实例我们可以看出枚举法的同类事物是个体(如上例中的每一个三角形)，可以直接从个体当中找到共有事实。而统计推断的同类事物是一组(如上例中的20次试验、30次试验、40次试验是三个同类事物)，需通过统计才能形成数据分布特征即这些同类事物的共有事实。由于统计推断要推广的事实是随机数据分布特征，所以要保证数据的独立性、随机性和数量，这其实就是统计学中的样本和样本容量的选择。枚举法和统计推断都是基于同类事物的归纳推理，而类比法则是基于两类相似事物的归纳推理：已知两类相近事物共有有限个事实，从而推出这两类事物还具有其他的共有事实。可见类比推理从“个别到一般”后还未结束，是“先从个别到一般再到个别”的推理。以上三种归纳法，枚举归纳所得结论最为直接，而统计推断需要进行数据分析，类比需要寻找相近事物，推理步骤相对曲折。

尽管小学生在日常生活中常用归纳法，但他们在数学合情推理中却难以自觉自如地使用这一工具，原因之一在于数学归纳是建立在数学概念和框架下的推理，“有限个、同类事物、共有事实、任意”等推理过程中必须明确的关键点都离不开小学生对数学概念、性质、运算、统计方法等等的理解，他们还需“审慎地考虑各个特殊的事实,并运用比较、分析、综合、抽象、概括以及探求因果关系等一系列的逻辑方法”[2]，因而，教师在引导归纳法的运用时必须关注小学生的知识基础和抽象逻辑思维发展水平。

3.经验——合情推理的依据

经验产生于实践，又对后续的实践起到指引方向的作用。正如“坐在苹果树下被苹果砸中是常有的事，却只有牛顿从中发现了万有引力”一样，一个拥有探索活动经验的人，能依据以往的实践路线展开思考，从而顺利地发现。小学生的数学合情推理，需要依据数学活动经验。数学活动经验是感悟了归纳推理和演绎推理过程后积淀形成的数学思维模式。[3]在合情推理过程中，归纳这一工具的使用离不开“演绎”的帮助：对实际材料进行归纳需要演绎的指导，归纳获得的猜想需要演绎加以证实。二者相辅相成，无法分割。尽管每一次合情推理都是一次新的归纳与演绎协同作用的过程，但除掉具体的细节，它们都遵循一定的思维模式，如果有所感悟，这种思维模式便在头脑中逐渐固化，就成为经验。一旦遇到类似问题，会下意识地回忆，依据经验展开思考。经验不能单纯地通过听讲获得，必须亲身经历和感受，逐渐领悟，当数学活动经验积累到能被大脑迅速调取，形成直观判断便达到了最高层次：数学的直觉。积累经验最终形成数学直觉是合情推理教学的长期任务。

二、数学合情推理要素优化

1.提高事实的清晰度：情境体验—客观描述—抽象概括

事实最初来源于感官，生活和学习活动中的事件刺激感官在大脑中留有表象，一旦被思维确认，就形成事实。表象给思维提供了材料，真切的体验则使思维进入最佳状态。课堂上，教师不光要创设情境，激活学生头脑中的表象，还应设计能够调动学生情感体验的问题，使学生有感而发，有话可讲。如创设购物情境：商品价格都是以“元”为单位的小数。问题1：“你的手中只有零散的角票，你会怎么想？该怎么算钱呢？”问题2：“你能把价格的小数转化成整数计算吗？”两者相比，前者让学生解决“自己”的问题，每个学生都可以遵从内心的倾向和体验说出想法。这种带有情感色彩的表象更容易成为思维捕捉的对象。在此基础上，教师可以引导学生通过数数、计算、测量、比较等手段获得事物的客观性质(关系)，对表象进行加工处理。这一阶段应当让学生积极表述，他们的语言尽管零散、含糊，但这种外显思维形式意味着大脑对客观事实的不断确认。教师整理学生的描述，就形成了学生认可的自然事实。如：当学生直观感受到转弯的路线比直的路线长的时候，教师引导学生量一量每条路线长度，再计算比较，这样学生就可以用客观的数据来描述路线的长度关系。测量的同时，学生也有了路线抽象成线段的心向，教师再引导学生想一想线路图中蕴藏着怎样的数学图形，很快就可以进入“抽象概括”阶段。数学事实的获取就是将自然事实转化成含有数学符号、名称、图表的高度概括的语言陈述。由于小学生的语言组织能力较弱且对一些数学用语掌握不牢，当学生难以独立抽象概括时，教师就要在肯定学生客观描述的基础上进行示范、讲解、强化。如在学生描述：“这一三角形的三个角加起来是180°”的基础上，明确指出：“你们说的三个角都在三角形里边，这些角称为内角，三个内角加起来就是内角和。”还可以通过“指一指三角形的内角在哪？怎么求内角和？”等问题强化“内角和”这一抽象概念。如此，学生就能获得清晰的数学事实。

2.提升归纳法的使用效率：知识准备—材料支撑—演绎分析

归纳法本身不难理解，学生在学习活动中常会下意识地使用归纳法，如错误计算3.15+2.3=3.38，其实是“整数相加末位对齐”类比得出“小数相加末位对齐”的运用。在教学中，我们要鼓励猜想，更要教会猜想，只有正确地使用归纳法才能获得可靠性强的猜想使其成为“科学发现的金钥匙”。如何才能得出可靠性强的猜想呢？首先要保证合情推理的基础即数学事实能反映出事物内在的本质联系；其次要求推理的前提条件即有限个同类事物覆盖面广，具有较好的代表性；最后需对猜想进行检验修正。小学阶段并不要求做严格的证明，但可以通过列举反例推翻最初的猜想、解释说明提高猜想的可信度，以上三点都离不开对原有知识做演绎分析。上例“整数相加末位对齐”是表面特征，如果学生能回忆起“相同单位的数才能相加减”这一知识点并分析出“整数相加数位对齐”这一本质特征，还能选取不同的小数(小数部分位数不同)尝试计算检验，那么就能顺利类比出“小数相加点对齐”并正确计算。可见在课堂上提升归纳法的使用效率首先就要帮助学生复习旧知识，要注意的是复习不是对旧知识的简单回忆，而是让学生运用旧知识练一练、做一做、说一说，使得学生进一步体验旧知识的实际意义，为后续的推理活动指引方向。如“计算3元5角与2元6分的和，让学生说说算的时候注意什么”使得学生切实回忆并认同“相同单位的数才能相加减”。由于小学生的抽象逻辑思维较低，要顺利演绎分析，就需要具体材料(数据、算式、图形、图表、学具)的支撑。教师提供的材料应利于学生理解概念，同时让学生带着问题去操作材料，使学生在思考问题的过程中理清各操作步骤的相互关系及过程和结果的因果联系，当学生能够正确回答问题并阐述理由，就说明他们积累了一定的分析、判断经验，这时教师可以帮助他们整理经验，要求他们脱离具体，运用抽象概念、公式定理推导结论，即开始尝试演绎分析。学生通常会出现前提条件不充分、结论和条件倒置的情况，教师应及时纠正并示范以保证演绎过程的条理性和完整性。

3.加快推理经验的积累速度：回顾反思—形成模式—自我尝试

小学生进行数学合情推理的思维步骤大体有：自然事实向数学事实转化；寻找多个特例明确数学事实；运用归纳法获得猜想；修正和检验猜想。当头脑中各个步骤之间产生了实质性的联系，前后连贯，就形成了模式。经验积累就是对模式的记忆和认可过程，经验只有积累到一定程度，才能指导行动，形成直觉后，才能自动化。合情推理的教学，一方面要引导学生得出可靠性强的猜想，从而形成新知识；另一方面要帮助学生积累推理经验，逐步加强合情推理的自觉性。经验积累是一个长期的过程，初期的教学重在引领学生感悟合情推理的模式，教师可按以上四个步骤设计教学环节，在各环节，若学生在演绎分析中遇到困难需及时启发示范，保证其思维的流畅。结束后让学生说说新知识是怎么得来的，帮助他们回顾推理步骤，留下印象。学生按照老师设定的路径前进时，可以顺利得出结果，但无法理解各步骤的意义和价值，也就难以自觉地模仿。中期，就要引导学生对经历过的推理步骤进行反思，通过提问：“我们是怎么发现这个特点(规律)的？为什么例子(实验)需要这么多？多个(某数学对象)有这样的特点(规律)，所有的(任意的)都这样吗？你为什么觉得这个结论是正确的？”把教师设定的活动转化为学生自己的行为，使其明确各步骤的必要性和前后关系，多次这样的训练，学生就会逐渐认可从而形成合情推理模式。后期，可以在探究性问题的指引下，放手让学生尝试合情推理。教师应当创设情境，让学生从自然事实中获得初步的猜想，并引导学生回忆以往的推理过程，然后说说自己的方法。如“长方体体积公式”是小学高年级的学习内容，不妨让学生自主探究，学生可从集装箱标注有长、宽、高数值的情境图中获得初步的猜想：长方体体积和长、宽、高有关，进一步思考就得到本节课的探究性问题：已知长方体的长、宽、高，如何求体积？教师可用PPT展示以往长方形面积公式推导过程，并提供边长为1 cm的小正方体若干个，为学生的后续活动指明方向。只有经历自我尝试，学生才能真正体验到合情推理的效用，从而自觉使用。

[参 考 文 献]

[1] 张继成.事实、命题与证据[J].中国社会科学，2001(5)：136-145.

[2] 编者语.何谓”合情推理”(续)[J].中小学数学(小学版)，2011(11)：17-21.

[3] 郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012(10)：24-28.

[责任编辑：陈学涛]

[收稿日期]2015-11-23

[基金项目]广西师范学院教师前期基础研究立项项目。

[作者简介]廖翔(1976-)，女，广西柳州人，硕士，讲师。

[中图分类号]G623.5

[文献标志码]A

[文章编号]1002-1477(2016)05-0064-03

数学研讨[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.05.017