依托基本图形教学，发展创新思维

郑辉

摘 要：几何证明题的图形纷繁复杂、千变万化，这使学生在解题过程中把握不住图形的本质，找不到解题的突破口。但任何复杂的几何图形都是由相关的基本图形所构建而成，对复杂图形进行合理分解，从中分离出基本图形，可以为解题找到突破口。依托基本图形的教学，虽可有效排除无关信息干扰，快速凸显解题突破口，提高思维的敏捷性。教师若尺度把握不当，也可能造成学生的一种“模块化”思维定势，阻碍学生思维的发展。而初中数学教学的目的就是要培养学生的多种思维能力，这就要求教师在教学时把握好这个教学的尺度，时常注意打破原有的教学“模式化”，克服思维定式，拓宽思维领域，引导学生发展创新思维。

关键词：基本图形教学；创新思维；思维定式

时代的发展，需要创造型人才，而创造型人才，必须具有创新思维。因此，在数学基本图形教学过程中，注重学生的创新思维的培养就显得十分重要了。如何培养学生的创造性思维，最大限度地挖掘每个学生的潜能，充分发展他们的思维能力，是数学教学的主要任务。本文试就笔者在中学数学的基本图形教学法教学中如何培养学生的创新思维谈一点肤浅的认识：

一、形象思维与抽象思维相结合，激发创新意识

形象思维是用直观形象和表象解决问题的思维。其特点是具体形象性，属于感性认识阶段。抽象思维是人们在认识活动中运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映的过程，属于理性认识阶段。抽象思维是创造性思维的重要组成部分，对于那些抽象的定理、性质，直接给出时的效果总不太理想。在教学中，只有引导学生的思维从形象逐步过渡、上升到抽象，才能在获取知识的同时发展能力。有了创新意识，才能有创新思维，继而进行创造活动。现代数学观认为，数学是人类的一种活动，是一种创造性的活动。数学基本图形的学习过程就是数学活动过程。

《义务教育数学课程标准》在几何方面的学习要求学生“……能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，……利用直观来进行思考”。初中生开始学习空间与图形的相关知识时，确实存在很多困难，概念集中又抽象，难理解；由“数”转入“形”，难适应；推理论证逻辑性强，难下手。因此，在几何基本图形教学中应对数学基本图形进行抽象、归类，逐步培养学生对几何图形的识别、组合与分解的能力。此时必须突出几何基本图形教学的直观、形象性，在整个教学过程中利用基本图形努力创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣，引导学生自主学习。教师在教学中可从一些最基本、最简单的几何基本图形入手，让学生在头脑中先形成各种基础知识的表象图形，在实际运用中组合成较为复杂的图形或分解那些较为复杂的几何图形，去解决生活中的实际问题，从而培养学生组合与创新，及从复杂问题中去分析、解决问题的能力。 例如：

例1：如图（1），E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交边CD于G，交对角线BD于F，求证：FA2=FG×FE

教学中引导学生由乘积式FA2=FG×FE入手，只要证比例式=，而比例式左右两边的比很直观，分别是平行线型相似三角形“Ⅹ”字形基本图形图（2）与图（3）的组成部分，而图（2）与图（3）的公共部分BFD，就是该道题的突破口，只要把中间比建立在BFD上，不难找出中间比“”，从而问题得证。

这样通过直观因素来解决抽象问题，进行形象思维与抽象思维结合的训练，不但激发了学生的学习兴趣，而且提高了观察力和概括能力，对激发学生创新意识，无疑有巨大的促进作用。

二、正向思维与逆向思维相结合，培养创新思维

逆向思维，是对常见的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。对于概念、定理、性质，往往习惯于正面看、正面想、正面用，极易形成思维定势。在解决新问题面前，这种思维定势是一种负迁移，作用是消极的。学生往往感到束手无策，寸步難行，所以，在重视正向思维的同时，养成经常逆向思维的习惯，“反其道而行之”，破除常规的正向思维带来的定势束缚。

如何进行逆向思维的训练呢？在具体的基本图形教学中要注意两点：

（一）重视逆向教学

逻辑思维能力是初中生在几何证明中进一步接触严密的逻辑推理方法，而其中的逆向思维，从问题的反面揭示本质，弥补了正向思维的不足，使学生突破传统的思维定势，是培养学生创造性思维的关键。因此，教师在对有关证明题进行分析时，应逐步向学生灌输几何证明中常用而且最有效的方法——分析法，并引导学生进行“执果索因”，从而增强直观感，激发学生的兴奋感与成功感。

例如：

例2：如图（4），已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证

显然该道题，容易受制垂径定理的基本图形带来的正向思维的定势束缚，但要引导学生打破定势思维的框框，利用分析法进行逆向思维，并引导学生进行执果索因，要证=，只要证△ABC∽△FDC，故连接辅助线AC，从图中易知∠ABC=∠FDC，则只要证，∠ACB=∠FCD，又∠FCD=∠BAD，故只要证∠ACB=∠BAD，再只要证这两个圆周角所对的劣弧AB=劣弧BD ，而再由已知中具有的垂径定理的基本图形不难看出，这两段劣弧易证相等了。

（二）强调一些基本方法的逆用

逆向思维也叫求异思维。在创造性思维活动中，求异思维占主导地位，也有求同的成分，而且两者是密不可分的。解决问题时从局部考虑不易，是否能整体处理；一般情况下不好办，考虑特殊情况；前进有困难，退一步如何；正面入手分类太多，对立面如何；“执果索因”与“由因导果”两方面寻找解题途径；直接证明不行，则考虑用间接证法等。

在教学中，只有引导学生从“同中求异”与“异中求同”的反复结合，才能培养思维的流畅性、变通性、新奇性。比如，在证明“三角形内角和定理”时，因三个内角位置分散，众所周知，必须添加适当的辅助线使角集中起来，这是思维的求同；至于如何添加适当的辅助线，这便是思维的求异。应引导学生从基本图形“三线八角”出发进行探索，寻找能否构造“三线八角”中的“F”“Z”“U”，由学生各自表达各种不同的见解。学生有的认为：过一顶点作直线平行对边；有的认为：过一顶点作一射线平行对边；也有的认为：过一顶点作射线平行对边，但还得再延长一边；还有同学想到：在一边上取一点后，分别做另两边的平行线；甚至有的学生会想到：取三角形内任意一点做三边的平行线。多种方法能够解决问题，学生的求异思维十分活跃，然后通过比较，异中选优。

三、收敛思维与发散思维相结合，开发创新精神

在创造性思维过程中，发散思维起着主导作用，是创造性思维的核心。培养学生的发散思维，关键是要使学生能够打破思维定势，改变单一的思维方式，运用联想、想象、猜想、推想等尽量地拓展思路，从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行敏捷的思考。思维的发散才能多角度、多层次地从不同方面去思考，才能深刻地理解、巩固并灵活运用知识，培养学生的创造性思维能力。基本图形教学中，例题的讲解应该注意一题多解、一题多变，即条件发散、过程发散、结论发散，强调思维的发散，增强思维的灵活性。在例题教学中，可叫学生先做例题，引导学生广开思路，探求多种解法，然后教师再给学生分析、比较各种解法的优劣，找出最佳的、新颖的或巧妙的解法，开发学生的创造性思维。

（一）注重证题思路中的“一题多解”，促进收敛思维

收敛思维是创新思维的一种形式，与发散思维不同，发散思维是为了解决某个问题，从这一问题出发，想的办法、途径越多越好，总是追求还有没有更多的办法。而收敛思维也是为了解决某一问题，在众多的现象、线索、信息中，向着问题一个方向思考，根据已有的经验、知识或发散思维中针对问题的最好办法去得出最好的结论和最好的解决办法。收敛思维所追求的目标是迅速地进行筛选，采用科学的方法将问题简化，作出正确的判断，选取较理想、较合适的方案，使问题得到正确的解决。

“一题多解”是几何教学中众多学者谈论研究的一种有助于提高学生逻辑思维能力的方法，俗话说：“条条大路通罗马”，可见解决问题并不只是一种方法。在初中几何教学法中，可以过典型例题引导学生从不同角度、不同层次、多方位地思考。探索各种不同的解法，例如，在解题时，不要满足于把题目解答出来便完事大吉，而应向更深层次探求它们的内在规律，可以引导学生变化题目的条件、结论等。比如，证明“勾股定理”。 有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分巧妙，有的因为证明者身份的特殊而非常著名，其中以面积证法较为巧妙简捷。该题证明后，可以变换角度，广泛联想，训练发散思维。可以看出，对数学问题的回味与引申，使学生从不同角度处理问题，增加学生总结、归纳、概括、综合问题的意识和能力，培养了思维的灵活性、变通性和创造性。

总之，通过“一题多解”的长期练习，并且从中比较哪种方法最简捷，是最佳方案等，这样学生对基本图形的理解就能根深蒂固。因为每找到一种新的解法，说明他的思维触角又伸了一个新的领域。这样就开拓了学生的分析思路，进一步培养了学生的逻辑思维能力。

（二）注重证题形式的变化即“一图多题”，促进发散性思维

所谓一图多题，就是同一种几何图形，由于已知、求证的差异可构成多种不同的几何问题，在教学中多进行这一方面的训练，有助于开阔学生的视野，增强学生的应变能力，达到从一个几何图形训练对基本图形的认知，培养学生多向思维和发散性思维的目的。同时，也可以使学生避免枯燥烦人的“题海战术”，激发学生强烈的新鲜感和求知欲。

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（图5）

根据图（5）可引出以下两例：

例3：如图（5），从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，又BD为⊙O的直径，连结CD、AO，求证：CD∥AO。

例4：如图（5），从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，切点为B，BD为⊙O的直径，过D作CD交⊙O与C，且使得CD∥AO，连结AC、AO。求证：AC是⊙O的切线。

通过图（5）两例的拓广，可使学生对“切线长”基本图形与切线的性质和判定有了一个新的认识，使学生能将所学的知识充分联系在一起，并加以联想、归纳，从而有助于学生发散性思维的培养。

（三）注重图形的适当变换即“一图多变”，培养学生的创造性思维能力

创造性思维也是一种求异思维，是指不拘泥，不局限于常规，善于发现与众不同解决问题的途径，从而求得问题解答的一种思维方式。几何习题图形多变，证题思路千变万化，学生有手足无措之感，会被表面现象所迷惑，而不能抓住事物的内在规律和本质。教师在几何教学中，要让学生结合基本图形来掌握所学，加深学生对基本图形的认知，帮助学生建立图形与性质、定理的密切联系。在引导学生对复杂图形进行拆积木式的分解过程中，能训练学生的识图能力，有利于能力的迁移，有利于在复杂图形中快速找到解题的思路。就基本图形的应用这一部分，笔者认为基本图形的演变虽然繁多，但万变不离其宗，教师可通过图形的适当变换，产生新的题型，例如：

例5：已知，如图（3），CD是⊙O的直径，AB是弦，AE⊥AB，垂足为A，BF⊥AB，垂足为B，求证：CE=DF。

变式一：把CD和AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论均不变，便得新题，变化后如图（4）：AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，求证：CE=DF。

变式二：如图（5），旋转AB，令AB与CD相交，条件、结论都不变，又得新题。

变式三：把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图（6），直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，（1）求证：AC平分∠BAE；（2）求证：AB=AE+BF；（3）求证：EF2=4EA×BF。

如此这般的“一图多变”，使学生在学习的过程中，逐步理解涉及基本图形的一些常规证法。同时，教师在基本图形教学中要敏锐地发现学生的智慧火花，引导学生能通过图形的变换和题目的不同叙述形式，辐射式地展开思路，从而提高学生的逻辑思维能力及创造性思维能力。

总而言之，数学活动的核心是数学思维活动，而初中数学教学的目的就是要培养学生的多种思维能力。故在基本图形教学法中教师应着重培养学生的创造性思维，要充分利用基本图形的分解和组合，引导学生积极地进行思维活动。在稳固旧知与寻找新知的融合过程中，充分调动学生的学习积极性，发挥学生的主体作用，并有意识地培养学生的探索精神和创新精神，形成获取新知识、动用新知识解决问题的能力，并通过基本图形的演绎来训练学生思维的收敛与发散，正向迁移与逆向探究，促进学生思维的灵活性与创造性的发展，最大限度地挖掘每个学生的潜能，充分发展他们的思維能力，以达到发展学生创新思维的目的。

参考文献：

鲍健强，黄舒涵，蒋惠琴.论发散性思维和收敛性思维的辩证统一[J].浙江工业大学学报：社会科学版，2010（02）.

编辑 谢尾合