顺序线性数列极限注记

寿凌云

摘 要 对已知线性若干个顺序数列极限的情况下，通过构造新数列，多次使用Stolz定理证明了满足一定条件下可以推出该数列的极限。

关键词 数列 递推极限 Stolz定理

中图分类号：O171文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.019

Order Linear Sequence Limit Notes

SHOU Lingyun

（School of Computer Science & Information Engineering，

Zhejiang Gongshang University， Hangzhou， Zhejiang 310018）

Abstract The case of a number of known linear order limits the number of columns， the number of columns by constructing new， multiple use Stolz theorem under certain conditions can be introduced that limit the number of columns.

Key words sequence; recursion limit; Stolz Theorem

引理1：设{}为无穷实数列，为实数，≥0，满足∣∣<，>0则 =  （ + ） = （ + ）。

该题出自朱尧辰先的一道数列题，本文进行了推广，换成了更普遍的形式。该题证明如下：

必要性：这是明显的。

将这个等式相加化简得到

= 0时明显成立。

0<<1时，∵ = ，根据Stolz定理②，

<<0，时，可使分为奇数和偶数分开讨论， = 2时， = 2 +1时必满足Stolz定理的条件，仿照上述步骤即可，这里不再详述。

引理2：设{}为无穷实数列，为给定实数，≠0，≥0且 +  +  = 0的实数解存在且在（1，1）之间，

证明如下：

必要性显然，下证充分性：

对于①，等价于

根据引理1，得到

再根據引理1，得到

对于②，同理得到

式子③与④相加除以2得到：

又由 +  +  = 0有解，则≥4，∴≥++当且仅当成立，根据题设条件

依靠以上两种顺序线性数列的极限与方法都能推出更多数量顺序线性数列极限：

参考文献

[1] 朱尧辰.数学分析例选[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2013：30-33，49.

[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006：21.