高中数学数列问题的解题技巧探究

王启新

【摘 要】高中数学数列问题是必修课的难点，掌握数列的解题技巧对自如应对高考中的数列问题尤为重要。本文在分析高考数列常见题型的基础上，详细阐述了八种数列解题技巧。

【关键词】高中数学；数列；解题技巧

数列问题是高中必修课程中的重难点，是高中数学的重要环节，在整个高中数学知识体系及高考命题中都占据着十分重要的地位，近些年，数列课程比重日渐增多，高考中经常出现创新题型，因此，在学习中掌握高考数列的命题规律及解题相关技巧显得尤为重要。

一、数列基础知识一定要掌握牢

从2003年实行新课标后，数列就被列入到必修五教材中，数列在教材中重点是等差等比数列的概念，通项及前n项和公式及应用，数列与函数的关系等；难点是等差等比数列的通项及前n项和公式的灵活应用，求一些特殊数列的前n项和等；关键是等差等比数列的基本元素（a1，an，Sn，d，q）间的换算及恒等变形。

二、数列知识在高考中的地位一定要明确

数列知识是高中数学教材中的一个独立章节，具有十分重要的地位，是必考内容，无论是全国卷还是省卷都占据一席之地。

数列近三年在高考中的出题方向及趋势是：一般数列问题会有5-15分值，如果两道题常出现在选择和填空中，一般考查基础知识，分值为10分。若出现在解答题中，一般一道题，分值一般为10-15分。解答题近两年在全国理科卷里出现的情况较少，但对于今后的学习却不课忽视，因为数列在今后的数学学习中起着基础作用，我们断不可轻视。

三、数列的常用解题技巧

（一）掌握数列常用的数学思想

数学思想方法成为近两年高考考查重点，在解决数列问题时常用到的思想方法有：方程思想、等价转化思想、类比思想、函数思想、不等式思想、分类讨论思想等。解题不要囿于一种数学思想，两种数学思想混合应用的情况很常见。

如2013年的大纲卷（理）17题（10分）：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式。

这道题就是主要考查等差数列的通项、 前n项和公式，以及利用裂项相消法求前n项和；考查的数学思想就是方程思想、转化思想及逻辑思维能力的。

如2016年全国II卷，（理）17题（12分）：Sn等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1。（I）求b1，b11，b101；（II）求数列{bn}的前1000项和。也是考查等价转化思想及分类讨论思想的应用。

（二）掌握数列的性质

数列作为一种特殊的函数，因此它具有函数的性质，比如单调性、最值、周期性等等，数列的函数性质，作为数列与函数的交汇点的知识考查，是近几年高考试题的热点，也是考查学生综合能力的出发点。

1.数列的单调性

数列的单调性是指：一般的，如果数列{an}满足，对于任意的正整数n，都有an+1>an（或an+1

如2013年全国II卷（理）16题（5分）：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为_______。就是考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性来做答。

2.数列的周期性是指：对于数列{an}如果存在确定的数T和n0，（T≠0，n0∈N+）使得n≥n0恒有an+T=an，则称{an}是从第n0项起周期为T的数列

在高考中对数列周期性的考查主要涉及到以下两种形式的题目：（1）已知周期，求数列中的项；（2）已知数列，求周期进而解决其他问题。

2014年全国II卷，（文）16题（5分）：数列{an}满足an+1= ，a2=2，则a1=_________。该题是填空题的压轴题，主要考查数列的递推关系式，且无法转化成特殊的数列，则可通过递推关系式求出数列中的若干项，发现数列的周期性特点，从而得到所求。

另外，数列的最值在高考中考查的次数较少，这里就不赘述了。

（三）数列的解题方法

1.熟练基础方法

通项与求和公式的直接应用，只要理解并熟用等差等比数列的通项公式及求和公式即可。

2.求数列的通项公式

累差叠加，累商叠乘法是高考中常用的方法，从而考查对数列的掌握情况。

3.划归转化法解题

化归转化技巧就是把一些不能直接解的数列问题转化为简单的、已知的问题来求解。例如把数列问题转化成等差、等比数列的问题求解；或者把数列问题转化为函数问题求解；把数列的通项公式和求和公式看成是n的函数。

如2014辽宁高考（理）8题，（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2 an}为递减数列，则（ ）

A.d<0牘 B.d>0牘 C.a1d<0牘 D.a1d>0

主要考查等差数列的通项公式，函数的单调性等知识，体现了对数列和函数的综合考查。

4.运用公式由sn求an

这种类型的题目常给出Sn与n的关系，或者Sn与an的关系，进而求数列的通项公式。可利用公式

anS1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2 求其通项。

5.用数学归纳法求数列的通项公式

数学归纳法常常也用在求解数列通项公式类型的题目中，在由递推公式求数列的通项时，如果常规的方法难以解决，那么通常可以采用“数学归纳法”。如2008年辽宁卷（理）21题（12分），数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N ）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：++…+<。

此题是考查等差数列，等比数列知识，综合运用合情推理通过观察，找出规律，提出猜想，再利用数学归纳法证明来解题。

6.裂项相消法

裂项相消是分解和组合思想在数列求和中的应用，其实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。

2015年全国I卷（理）17题（12分），Sn为数列{an}的前n项和。已知an>0，an2+an=4Sn+3。

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和。

此题是考查利用an与Sn的关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和，先利用an与sn的关系，an=Sn-Sn-1（n≥2）推导出数列{an}的通项公式，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和即可。

7.錯位相减求和法

在推导等比数列前n项和公式时采用的是错位相减的求和方法，该方法中“相减”突破了学生以往“求和即相加”的固有思想，高考中常会遇到。

由于错位相减法计算量较大，学生在考场上有限的时间里很容易因为计算失误失分，提高计算的准确性尤为重要。

8.放缩法解决数列不等式

放缩法是不等式证明的一种基本方法，而数列不等式也常常通过放缩法来证明。通常我们把数列的通项放缩成可求和或可求积的数列，进而证明结论。

2014年全国II卷（理），17题，（12分）已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1。

（I）证明：{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（II）证明：++…+<。

此题是考查数列的递推关系，不等式的证明及数列求和等知识，而不等式的证明就用到了放缩法进行处理，一是求和中的放缩；二是求和后比较中的放缩。一般情况，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列，可裂项相消法求和的数列等。

除以上方法外，还有分组求和法、利用构造法和单调性、归纳法解决数列不等式问题。

四、考点变化

等比数列的考点仍是基本量的计算，等差数列的难度略有下降，递推数列的设置难度略有提高，位于填空题的压轴位置，这对今后的数学学习起到一定的引导作用，就要求我们除了要有准确的计算能力，更应重视方法的研究。

【参考文献】

[1]赵昱.数列问题的教学思考.辽宁师范大学硕士学位论文，2013年

[2]华玲蓉.2010年高考数列问题类型及解题策略.基础教育论坛，2010年11期

[3]张维娟.高考中数列问题的解题技巧与教学研究.西北大学硕士学位论文，2015年

[4]白晓杰.新课标下高中数学数列问题的研究.河南师范大学硕士论文，2013年