基于过控制顶点曲线的微线段过渡插补方法

吴　婷　张礼兵　黄风立

嘉兴学院,嘉兴,314001

基于过控制顶点曲线的微线段过渡插补方法

吴婷张礼兵黄风立

嘉兴学院,嘉兴,314001

针对微线段数控加工过程中的插补问题,为减小微线段数控加工中的速度波动,实现转接点的平滑过渡,提出过控制顶点曲线的过渡插补算法。首先构建微线段曲线的过渡矢量模型,根据基于特征多边形顶点的曲线模型的几何特性,构建过控制顶点曲线的过渡矢量模型,然后采用过控制顶点曲线过渡模型对微线段进行插补计算,根据加工误差计算控制顶点,确定约束速度并实时进行前瞻处理,最后通过实例进行了验证。实验结果表明,所提出的方法有效地提高了微线段转接速度,缩短了加工时间，实现了曲线的平滑过渡。

数控加工;微线段插补;曲线过渡;前瞻控制;过控制顶点曲线

0　引言

随着计算机和先进制造技术的发展，高速高精度加工已成为现代数控技术一个重要的发展方向。数控加工代码通常由CAM系统生成大量的微线段,这些微线段具有数量大、长度短等特点[1],其中长度为毫米级,有的甚至为亚微米级,而且生成的数控加工程序没有考虑相邻微线段之间转接点对加工精度、加工速度和加工质量的影响[2],如果直接按照数控代码进行加工必然引起伺服电机启动频繁,对数控机床产生较大的冲击,从而缩短刀具使用寿命,同时也耗费更多的加工时间,影响数控加工精度和加工效率[3],因此,对微线段数控加工进行平滑插补处理是提高加工精度和加工效率的一种有效方法。

针对微线段平滑加工研究方法主要有:直接过渡法、局部过渡法和曲线拟合法。王宇晗等[4]根据相邻小线段间约束条件建立了小线段高速加工速度衔接模型。Ye等[5]提出了一种基于前瞻算法的连续小线段插补方法,这种方法可提高系统运动的平稳性。张立先等[6]采用多个插补周期进行拐角过渡以提高线段连接处的转接速度。这些方法均采用直接过渡法对微线段进行平滑处理。通过分析，直接过渡法主要存在以下问题:①不能保证连接点处单个轴的加速度小于或等于系统允许的加速度，当某个轴的速度波动较大时，会对机床产生较大的冲击；②线段间实际连接点并不一定与理论连接点重合,从而存在转接误差，当转接误差较大时，影响转接点处的加工精度。一些研究人员采用局部过渡法对微线段进行过渡处理,如何均等[7]采用圆弧对相邻微线段进行过渡处理以提高过渡速度，另外，何均等[8]也提出基于Ferguson样条曲线的微线段过渡算法以实现数控加工的平稳过渡。与直接过渡法相比，局部过渡法更有利于实现速度的平滑过渡。Li等[9]采用五次样条曲线对微线段进行拟合,Wang等[10]和沈斌等[11]采用NURBS曲线对微线段进行拟合。Yau等[12]提出了基于Bezier曲线过渡方法。任锟等[13]对离散加工路径采用五次样条曲线拟合分析,预估高曲率点处最优速度，实现了加工速度的平滑过渡。采用曲线拟合方法对微线段进行插补处理,由于拟合过程计算量大，运算复杂，所以难以满足数控系统的实时性要求。综上所述，局部过渡法更有利于实现微线段之间的平滑过渡。但是目前局部过渡方法所采用的曲线并不通过控制顶点，控制顶点的位置仅仅控制曲线的基本形状，而不能直接控制曲线的变化，不能有效保证曲线的几何精度。因此，研究过控制顶点的光滑曲线过渡插补方法，有利于保证过渡曲线的形状和几何精度，从而有效提高微线段加工精度和效率。

1　曲线过渡矢量模型

为实现连续微线段高速平滑加工,在相邻微线段之间插入一段曲线,曲线过渡矢量模型如图1所示,P0P1和P1P2分别为相邻的两条微线段,S(u)为插入的过渡曲线,G0和G2点分别为曲线S(u)与微线段P0P1和P1P2的切点,G1点为∠P0P1P2的平分线与过渡曲线S(u)的交点。在保证加工精度的条件下，微线段P0P1和P1P2加工轨迹由线段P0G0、曲线S(u)和线段G2P2所代替,从而实现微线段高速加工的平滑过渡。为了确保插入曲线实现平滑过渡,ΔG0P1G2为等腰三角形,曲线段G0G1和G1G2关于∠P0P1P2的平分线P1G1轴对称。

图1　微线段数控高速加工曲线过渡矢量模型

1.1基于特征多边形顶点的曲线模型

在连续微线段数控加工过程中,相邻微线段之间采用过控制顶点的二次曲线进行局部过渡，通过曲线的几何特性确保系统的精度要求,相对于三次或者更高次曲线而言，二次曲线计算量较小，过渡处理所耗费的时间短，从而满足数控系统的精度和实时性要求。

基于特征多边形顶点的二次曲线表达式以矢量形式表示为

(1)

式中,Si(u)为二次曲线;Di、Di+1和Di+2为二次曲线的特征多边形顶点;u为参数,u∈[0,1]。

基于特征多边形顶点的二次曲线,首末两端点的位置分别表示为

(2)

式中,Si(0)为二次曲线首端位置;Si(1)为二次曲线末端位置。

对式(1)求导，得到

(3)

基于特征多边形顶点二次曲线,首末两端点的切矢分别表示为

(4)

根据式(2)和式(4),得到该曲线的几何特性如下：①首末两端点通过特征多边形相应边的中点；②首末两端点的切矢方向与特征多边形的相应边重合。

1.2过控制顶点曲线过渡模型

图2过控制顶点的二次曲线过渡模型

过控制顶点的曲线过渡模型如图2所示,点Pi,1为线段Pi,0Pi,1和Pi,1Pi,2的拐点,θi为相邻两线段之间的夹角,曲线Gi,0Gi,2为过渡曲线,Gi,0和Gi,2点均为微线段与过渡曲线之间的转接点,拐点Pi,1到转接点Gi,0和Gi,2的距离称为过渡距离。曲线Gi,0Gi,1和Gi,1Gi,2关于直线Pi,1Gi,1对称,点Gi,1为过渡曲线的中点,e为过渡曲线与微线段之间的偏差。

如图2所示,已知曲线首末两端点分别为Gi,0和Gi,2,确定曲线特征多边形顶点Di,0、Di,1和Di,2基于特征多边形顶点二次曲线的几何特性①,可得

(5)

根据式(4)可得

(6)

(7)

(8)

联立式(5)～式(7),可得到二次曲线的特征多边形顶点与控制顶点之间的关系表达式，用矢量形式可表示为

(9)

根据式(1)和式(9),可得过已知控制顶点二次曲线的数学模型表达式为

(10)

2　曲线过渡插补算法

在进行微线段数控加工高平稳控制时,需要控制曲线过渡的加工误差。因此，在曲线过渡插补算法实现过程中，需要考虑三个问题:①根据微线段的几何特征和加工精度要求，计算曲线过控制顶点的位置；②根据特征多边形顶点二次曲线的几何特征、动力学分析和极限速度等条件，确定数控加工过渡曲线的速度约束；③实时前瞻处理，实时构造过渡曲线和确定微线段的减速点，满足系统实时性要求。

2.1控制顶点的计算

由于Gi,1为过渡曲线的中点(图2),由式(10)可得

(11)

当采用过控制顶点二次曲线对微线段进行平滑过渡时,实际加工路径与原始加工路径之间会产生一定的偏差,为确保零件加工精度,需要对偏差量进行有效控制。假设系统允许的最大加工误差为emax,根据加工误差得到相邻微线段的过渡长度为li,线段Pi,0Pi,1和Pi,1Pi,2的长度分别为Li,0和Li,1,求得过渡曲线的起点Gi,0和终点Gi,2位置坐标,以矢量形式表示为

就在族长即将暴怒时，一个声音从后方天葬院中传了出来：“我以天葬师之名，接受你的诉求，为了云浮的未来，敬祈天神！”

(12)

线段Gi,0Gi,2的中点坐标矢量满足与(Gi,0+Gi,0)/2相等，根据拐点Pi,1、弦长中点和Oi点之间的关系,求得Oi的位置坐标满足以矢量形式表示为

(13)

点Gi,1将线段OiPi,1分成两段,可求得点Gi,1的位置坐标,以矢量形式表示为

(14)

根据式(11)～式(14),得到的li为变量的方程是一个无理二次方程,需要进行迭代求解,计算量较大,难以满足数控系统的实时性要求,因此,在获取加工误差与微线段的过渡长度li之间的关系时,为满足系统实时性要求,进行简化求解,提出一种假设圆弧过渡方法。

如图3所示,假设过渡曲线采用圆弧过渡,实际加工路径与原始加工路径的偏差为δi,可得到δi与emax之间的关系为

δi=αemax

通过RtΔGi,0Pi,1Ci得到微线段的过渡长度与数控系统所允许的最大偏差之间的关系如下：

(15)

图3　微线段假设圆弧过渡模型

根据式(12)和式(15),可得到曲线的控制顶点Gi,0和Gi,2位置,用矢量形式表示为

(16)

2.2约束速度的确定

当采用过渡曲线进行插补时,产生的弦高误差与过渡曲线曲率半径和进给速度之间存在耦合关系。为使产生的弦高误差在系统允许范围内,根据过渡曲线的几何特性对进给速度加以限制。如图4所示，设数控系统最大弦高误差为δmax,进给速度为vi,插补周期为T,过渡曲线曲率变径为Ri,则弦长为过渡曲线的插补长度。根据曲线的几何关系得到弦高误差、进给速度和曲率半径之间满足下列关系：

(17)

图4　弦高误差与进给速度关系图

在实际加工过程中,为了减少机床的振动,需要考虑机床动力学特性,系统最大允许加速度为amax,由系统最大加速度对加工速度的限制,得到进给速度与加速度之间关系为

(18)

为实现过渡曲线高平稳和高精度加工,加工速度既要满足弦高误差和机床机械特性的限制,又要考虑数控系统所允许的最大进给速度vmax,因此综合考虑三个方面,得到过渡曲线的速度约束条件为

(19)

2.3实时前瞻处理

当连续微线段数控加工采用过控制顶点曲线进行过渡时,加工路径由一系列的微线段和过控制顶点的过渡曲线组成。为了满足数控系统的实时性要求，采用滚动式前瞻控制技术对过渡曲线进行前瞻处理。滚动式前瞻控制技术在对当前微线段进行插补计算的同时，还要向前预读多段微线段进行前瞻处理，随着插补的进行，前瞻处理依次向前滚动，从而保证数控加工的前瞻性和连续性。前瞻处理包括两个部分：一是构造过控制顶点的曲线；二是确定预处理微线段的约束速度和减速点。

(1)构造过控制顶点的曲线。通过实时前瞻处理预先获取待加工微线段的几何信息,提前对相邻微线段进行曲线过渡,其实现过程如下:①根据系统允许的最大偏差，计算微线段的过渡长度;②根据式(16)确定曲线的控制顶点；③根据前瞻处理的相邻微线段，计算微线段的直线方程,方程的x、y、z分量分别对参数u求导数,由式(10)得到过控制顶点的曲线。

(2)确定预处理微线段的约束速度和减速点。在对微线段进行速度规划时,通过实时前瞻处理预先获取待加工路径的运动信息,提前获取加工路径的约束速度和减速点，以便及时调整进给速度，避免发生过切。其实现过程如下：①根据式(19)确定过渡曲线的速度约束;②根据过渡曲线的实时插补长度，确定过渡曲线的减速点。采用迭代思想,根据下式得到实时插补长度:

L(ui)=L(ui-1)+|S(ui)-S(ui-1)|

(20)

式中,L(ui)为第i个插补周期的插补长度。

3　实验验证

为验证所提出的过渡插补算法的有效性,采用自主研发的数控系统进行实验验证,该系统所采用的处理器为DSP28335,数控系统的插补周期为T=2ms,系统最大进给速度vmax=50mm/s,系统最大加速度amax=1000mm/s2,系统最大加加速度jmax=2m/s3。以加工由21段小线段组成的卡通小动物轮廓为例,其各点x轴和y轴的坐标值如表1所示,其加工路径如图5所示。

表1　卡通动物轮廓各点坐标

图5　卡通动物轮廓加工路径图

图6　直接过渡法速度曲线

相邻微线段间分别采用过控制顶点的二次曲线过渡方法和直接过渡法对微线段进行数控加工实验。数控系统在速度规划时,采用S形加减速控制方法,通过自主研发控制器中的数据采集模块对实际输出数据进行实时采集,采用MATLABR2009a软件平台进行数据处理，得到的结果如图6和图7所示。图6为采用直接过渡方法得到的速度曲线,图7为采用过控制顶点曲线过渡方法得到的速度曲线。通过分析图6和图7可知,两种过渡方法的转接速度波动不同,当采用直接过渡法对微线段进行数控加工时，其速度波动范围为1.263～50.0mm/s,所耗费的加工时间为5.5s;当采用过控制顶点的曲线过渡方法时,其速度波动范围为22.8～50.0mm/s,所耗费的加工时间为4.48s。因此,采用过控制顶点曲线进行过渡插补时,加工过程中速度波动较小,加工所用的时间较短。通过分析可知,影响直接过渡法的加工速度除了微线段自身特性外,还与数控系统的基本参数有关;影响过控制顶点曲线过渡方法的加工速度主要有弦高误差、过渡曲线曲率半径和插补周期等因素。因此，采用直接过渡法对微线段进行插补计算，由于转接速度较小，在加工过程中频繁地进行加减速，速度波动大，加工时间长；采用过控制顶点曲线过渡方法进行插补计算，由于转接速度比较大，速度波动更小、加工速度更平稳、加工时间更短。因此，过控制顶点曲线过渡方法具有更好的运动平稳性，同时具有较高的加工效率，更适合于连续小线段的高速加工场合。

4　结论

(1)针对微线段数控加工过程中的转接点的插补问题,为减小微线段加工的速度波动、实现加工速度平滑过渡,通过基于特征多边形顶点曲线模型的几何特性,构建微线段过控制顶点的过渡曲线数学模型。

(2)提出了一种基于过控制顶点曲线过渡插补算法。根据微线段几何特征和加工精度要求，计算曲线过控制顶点的位置；根据特征多边形顶点曲线的几何特征、动力学分析和极限速度等条件,确定过渡曲线的约束速度；根据约束速度，采用实时前瞻处理方法对过渡曲线的进给速度进行自适应控制。

(3)实例对比验证结果表明，所提出的方法在保证加工精度的条件下,有效地提高了微线段数控加工转接速度，实现了平稳加工，同时缩短了加工时间。该算法适用于连续微线段高速加工场合。

[1]皮佑国,范德和.数控加工中连续微线段轨迹的B样条曲线拟合[J].华南理工大学学报(自然科学版),2012,40(1):53-57.

PiYouguo,FanDehe.B-spineCurveFittingofConsecutiveMicro-segmentTrajectoryinNCMaching[J].JournalofSouthChinaUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition),2012,40(1):53-57.

[2]张晓辉,于东,杨东升,等.面向微线段高速加工的拐角曲线过渡插补算[J].机械工程学报,2010,46(19):183-191.

ZhangXiaohui,YuDong,YangDongsheng,etal.CornerCurveTransitionInterpolationAlgorithmforHighSpeedMachiningofMicro-lineSegment[J].JournalofMechanicalEngineering,2010,46(19):183-191.

[3]ZhangLibing,YouYoupeng,HeJun,etal.TheTransitionAlgorithmBasedonParametricSplineCurveforHigh-speedMachiningofContinuousShortLineSegments[J].InternationalJournalAdvancedManufacturingTechnology,2011,52:245-254.

[4]王宇晗,肖凌剑,曾水生,等.小线段高速加工速度衔接数学模型[J].上海交通大学学报,2004,38(6):901-904.

WangYuhan,XiaoLingjian,ZengShuisheng,etal.AnOptimalFeedrateModelandSolutionforHigh-speedMachingofSmallLineBlockswithLook-ahead[J].JournalofShanghaiJiaotongUniversity,2004,38(6):901-904.

[5]YePeiqing,ShiChuan,YangKaiming,etal.InterpolationofContinuousMicroLineSegmentTrajectoriesBasedonLook-aheadAlgorithminHigh-speedMachining[J].InternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology,2008,37:881-897.[6]张立先,孙瑞勇,高小山,等.数控机床高速微线段插补算法与自适应前瞻处理[J].中国科学:技术科学,2011,41(6):774-789.

ZhangLixian,SunRuiyong,GaoXiaoshan,etal.HighSpeedInterpolationforMicro-lineTrajectoryandAdaptiveReal-timeLook-aheadinCNCMachining[J].ScienceChinaTechnologicalSciences,2011,41(6):774-789.

[7]何均,游有鹏,陈浩,等.连续短线段空间圆弧转接与插补[J].航空学报,2010,31(5):1086-1092.

HeJun,YouYoupeng,ChenHao,etal.AnInterpolatorforContinuousShort-segmentsBasedonSpaceArcTransition[J].ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2010,31(5):1086-1092.

[8]何均，游有鹏，王化明.面向微线段高速加工的Ferguson样条过渡算法[J]. 中国机械工程，2008，19 (17): 2085-2089.

HeJun,YouYoupeng,WangHuaming.AMicro-lineTransitionAlgorithmBasedonFergusonSplineforHighSpeedMachining(HSM)[J].ChinaMechanicalEngineering,2008,19(17):2085-2089.

[9]LiW,LiuYD,YamazakiK.TheDesignofaNURBSPre-interpolatorforFive-axisMachining[J].InternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology,2008,36:927-935.

[10]WangJunbin,YauHT.Real-timeNURBSInterpolator:ApplicationtoShortLinearSegments[J].InternationalJournalAdvancedManufacturingTechnology,2009,41:1169-1185.

[11]沈斌,齐党进,樊留群,等.基于NURBS曲线拟合的微段高速自适应加工算法[J].中国机械工程,2012,23(15):1825-1829.

ShenBin,QiDangjin,FanLiuqun,etal.High-speedAdaptiveInterpolationAlgorithmBasedonNURBSFittingforMicroSections[J].ChinaMechanicalEngineering,2012,23(15):1825-1829.

[12]YauHT,WangJunbin.FastBezierInterpolatorwithReal-timeLook-aheadFunctionforHigh-accuracyMachining[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2007,47(1):1518-1529.

[13]任锟,傅建中,陈子辰.高速加工中速度前瞻控制新算法研究[J].浙江大学学报(工学版),2006,40(6):1985-1988.

RenKun,FuJianzhong,ChenZichen.NewLook-aheadAlgorithmforVelocityControlinHighSpeedMaching[J].JournalofZhejiangUniversity(EngineeringScience),2006,40(6):1985-1988.

(编辑王艳丽)

Transition Interpolation Algorithm for Micro-line Segments Based on Curve through Control Points

Wu TingZhang LibingHuang Fengli

Jiaxing University,Jiaxing,Zhejiang,314001

In order to reduce the velocity fluctuations and realize smoothing transition for machining of micro line segments,an interpolation algorithm was presented based on curve though control points.The curve transition vector model of micro-line segments was constructed.On the basis of geometric characteristics of curve model based on the characteristic polygon vertex,a vector model was proposed based on curve transition through control points.Interpolation of micro-line segments were calculated by using vector model based on the curve transition according to the machining errors and geometric characteristics of the curve,values of control vertex were calculated,the constraint velocity was determined,and real-time look-ahead control was processed.The proposed method was evaluated by an experiment,and experimental results demonstrate that the algorithm can effectively improve transition speed of the micro-line segments,shorten the machining time,and achieve smooth transition.

CNC machining;micro-line interpolation;curve transition;look-ahead control;curve through control points

2015-01-20

国家自然科学基金青年科学基金资助项目(51405197);浙江省自然科学基金资助项目(LQ14E050006,LY13E050021);嘉兴市科技计划资助项目(2013AY11020);“十二五”浙江省高校重点学科资助项目

TH162;TP273DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.10.015

吴婷,女,1979年生。嘉兴学院机电工程学院讲师、博士。主要研究方向为数字化设计与制造、数控技术。发表论文20余篇。张礼兵,男,1974年生。嘉兴学院机电工程学院讲师。黄风立,男,1976年生。嘉兴学院机电工程学院副教授、博士。