透视“三重联系”的内在层次性

【摘 要】自2011年版数学课程标准颁布以来，“三重联系”成为数学教育研究者和教师探讨和思考数学课堂教学的重要理念，这其中，区分数学知识之间联系的可能性和现实性、数学与其他学科之间联系的普遍性和特殊性以及数学与生活之间联系的浅层性和深层性，可能是深入研究和实践的方向。唯如此，教师才能在数学教学中更好地践行“三重联系”的理念。

【关键词】义务教育;数学课程标准;三重联系;初中数学;教学设计

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A   【文章编号】1005-6009（2015）26-0008-03

【作者简介】彭亮，南京师范大学课程与教学研究所（南京，210097）博士研究生。

从体会数学与自然及人类社会的密切联系，到体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，义务教育数学课程标准中关于数学联系的思想更为明晰，此种变化引发了一些数学教育研究者的关注和探究，与此同时，数学教学实践也在寻求与之契合的教学手段、方式和设计。鉴于此，深入挖掘“三重联系”的内在层次性，可能会对教师更好地践行这一理念有所助益。

一、数学知识间的联系

无论从一般教学的角度，抑或数学教学的角度，数学知识间的联系应是教师教学中最为常见也时常运用的联系方式。但在数学教学中，数学知识间的联系需要我们教师明确以下两个层次。

1.可能的联系。

所谓可能的联系是指任何数学知识点都可能与其他的数学知识点发生关联。因此，对于任意一个数学知识点来说，其与整个数学知识都存有一种可能的联系，这种可能建基于知识之间所形成的网状型知识地图。当然，除此之外，各知识模块之间也存在着或隐或显的联系。这些联系构成了整个初中数学知识的思维地图，而从这些地图中，我们可以发现，初中数学知识之间的联系是复杂的，一个知识点就像一张渔网的一个结点，通过牵动它，整个初中数学知识之网可能全都“舞动”起来。而数学知识间可能的联系正基于此，即数学知识间存有联系的可能，并且此种可能性涵盖了所有初中数学知识点，从教材编写的角度上来说，每个模块的知识都遵循着循序渐进的原则，因此在每个模块之内，数学知识无疑具有着联系，而在每个模块之间，数学知识间的共同性使得模块与模块之间须臾不能分离，如数形结合的思想即是模块间知识联系的反映。

2.现实的联系。

可是，数学知识间的可能联系往往不能较好地反映在数学教学中，这中间可能有着“面向教学的数学知识”与“学科知识”和“学科教学知识”间的区别。所谓现实的联系是指，在初中数学教学中，教师根据具体的数学知识，结合学生的学习状况，确定最终向学生所呈现的数学知识的联系。如在教学二元一次方程的概念时，一位教师是这样设计的：首先教师向学生呈现两个方程，2x+y=36，2a+3b+3=19，然后让学生归纳它们的特点（含有几个未知数？含有未知数的系数是几次？），最后教师总结，得出二元一次方程的特点——含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次。与之相对，一位教师可能这样来设计教学：首先引导学生观察所列的方程：2x+y=36，2a+3b+3=19，然后让学生归纳这两个方程的共同特征，随后让学生将这些特征与一元一次方程比较，找出相同点与不同点，最后启发学生给这两个方程取个名字（二元一次方程）。对比这两个教学设计，某种程度上二者都体现了关注“数学知识间联系”的理念。在第一个教学设计中，教师通过与未知数和未知数项的系数的联系，归纳得出二元一次方程的概念。而在第二个教学设计中，教师则通过与一元一次方程的联系构建二元一次方程的概念。两个教学设计的优劣应是高下立判的，究其原因，即是数学知识间可能联系和现实联系的差别。对于教师来说，可能联系只是其进行“三重联系”的基础，也就是说，它只是教师的数学学科知识和数学学科教学知识，而现实的联系则是教师面向教学的数学知识，其区别在于教师能否在教学中契合学生的认知特点，找准知识点间的对应点以及知识点之间的关联性，如此，可能的联系才会成为一种现实可行的联系。

二、数学与其他学科间的联系

稍微了解一点数学史的人都知道，数学的发展与其他学科的发展存在着密切的联系，如数学第一次危机的解决同时促进了哲学的发展，20世纪的分析哲学与数学之间的关联以及模糊数学、数学模型、元数学等思想和理念在自然、人文、社会等领域的运用。由此可见数学对其他学科的基础地位。但在初中数学教学中，我们需要分辨数学与其他学科间联系的两个层次。

1.普遍的联系。

所谓普遍的联系是指初中数学知识与初中其他学科知识间存在着密切的联系，只不过这些联系有些彰显，有些隐蔽。这种普遍的联系反映了数学学科作为一门基础学科在人类知识发展过程中的基础性。而对于初中的学科和学生所要学习的知识来说，此种普遍性较为集中地反映在数学与物理、化学、信息技术等自然学科的联系上，如信息技术中的“算法”即与数学有着非常密切的关联，另外，有的研究者发现，初中物理课程学习所需数学知识涉及数、比例及代数式的运算知识、基本几何知识等12项内容。除此之外，数学还可以与人文社会学科联系，进而培养学生相应的人文素养和基本的社会能力，例如联系到公民学、社会学的问题，对学生进行“公民教育”的培养。鉴于数学对人的理性精神发展的积极作用，让学生运用数学的理性精神了解和分析社会公共事物，旨在培养和造就良好的公民，增强社会凝聚力。这种普遍联系使得数学教学的视野更加开阔，同时，它也使得数学学习更有针对性和应用性。

2.特定的联系。

当然，对于现实的数学教学来说，数学与其他学科之间联系的普遍性只是一个前提和事实，倘若教师要真正地将数学与其他学科进行关联来实行自己的教学，则必须思考和顾及数学与其他学科联系的特定性，这里的特定性主要表现在两个方面，一是学科的内容问题，即在初中教育中所涉及的学科，一般都是学生学习意义上的学科，它与科学研究和学科分类上的学科还是有所差别的，这其中，内容的广度和深度应是二者不容忽视的区别，因此，对于教师来说，怎样顾及初中学科的特性，合理地关联初中数学知识点可能是其在普遍性联系下需要思考的首要问题，如果处理不当，相应的联系可能会比较生硬和“做作”;二是要注意区分特定内容，初中数学包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”以及“综合实践活动”四个方面，每个方面的内容都有各自的特点，并且这些内容在历史发展过程中都与特定的学科有着较为密切的联系，因而，教师在进行学科关联时，可能需要从内容的角度，探寻数学内容背后的发展历程，进而寻求较为合适的关联学科，从而更好地将具体的数学内容与其他学科的相关内容相互连接。

三、数学与生活间的联系

反思数学的源起，我们可以发现数学与生活有着密切的关联，并且数学与生活之间的联系也是学生学好数学的一个重要方式和手段，20世纪著名数学教育家弗赖登塔尔所提出“现实化数学”思想在某种程度上也是基于此种考虑。不过，在初中数学教学中，数学与生活间的联系需要注意以下两个方面。

1.浅层的联系。

所谓数学与生活的浅层联系是指数学知识与学生的生活之间“貌似神不合”的联系，也就是说，生活只是被僵硬地拉进数学知识的学习当中。这种情况常常出现在课堂导入的环节，教师为了刻意引发学生的学习兴趣，往往会在课堂导入的环节融入一些生活的情境，以此来激发学生的学习兴趣，但是这种“良苦用心”的结果往往“事倍功半”。究其原因，可能是教师没有领悟数学知识与生活的深层联系，而只局限于浅层的联系，从而出现了我们在数学课堂中经常遇到的生活与数学两张皮的现象。浅层联系的产生可能还在于我们只从数学来思考生活，很少甚至没有从生活来思考数学，这二者的区别在于我们思量数学与生活的联系时，谁居于首位，从生活来思考数学是我们在生活的基础上思考数学，如此，数学才能有机地融入生活，反之，生活将是被割裂的、虚拟的甚或伪造的。

2.深层的联系。

正是因为浅层联系的存在，深层化是数学与生活的联系的旨归。它是指教师将数学知识有机地融入自己所选定的生活场景之中。如一位教师在执教《平面直角坐标系》一节时，在课上有意识地提出了三个问题：（1）如果向东走3米记作+3，则向东走5米记作 ;（2）如果向东走3米接着左转向北走2米，如何标记终点与起点的关系？（3）谁能找出生活中更多的只用数轴不能表示出位置关系的问题？学生通过观察思考，会提出大量的问题。不但有课本中举例所说的温度变化和找座位的问题，而且也有生活中大量存在的此类问题，像确定教室内电扇、电灯、窗格、地板砖的位置，课本中某个字的位置，生活小区中两楼之间的位置等等。正如上述所说，能否将生活与数学进行深层联系取决于教师能否从生活的角度来思考数学问题，当然，这里的生活并不是完整的、实在的现实生活，它一定是教师选择和加工过的生活，而且他选择和加工的路径是从生活到数学，而不是从数学到生活。因为生活到数学可能只是限定生活的某些方面抑或理想化生活的某些方面，而从数学到生活，有可能只是从数学来构建所需要的生活，这两种不同的路径决定了生活的真实性，进而也影响了数学与生活联系的深度。

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【基金项目】2011年度江苏省教育科学规划重大课题（A/2011/08）：基础教育课程改革重大理论与实践问题的深化研究