科学剖析难点 合理解决难点

费建锋

[摘 要]教师在思考如何确定教学难点的时候，不仅要考虑知识点的难易程度，更要考虑学生的认知规律、学习起点。只有准确了解、把握学生的学情，才能确定教学中的难点，让学生“不仅知其然，而且知其所以然”。

[关键词]数学教学 教学难点 教学重点 知识结构 原有经验 算理 技能

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）20-034

如何科学、合理地确定课堂教学中的难点？笔者通过对“一个数除以分数”的教学，从找准难点、剖析难点到解决难点的思路做了实践研究。

一、找准难点，分析难点缘由

1.认识教学内容在教材中所处的地位

“一个数除以分数”是小学数学教材中最后一种基本计算，也是后面学习小数四则混合运算和分数、百分数等应用题的重要基础。一个数除以分数包括整数除以分数和分数除以分数两种情况，但不论哪一种情况，计算时都要把除以分数转化为乘以这个分数的倒数。

2.认清学生的原有经验

学生在学习新知之前，已经具有分数除以整数的计算概念及之前学习分数乘法的经验，所以“一个数除以分数的计算法则”应当是教学的重点。

3.确定教学的难点问题

要想真正了解学生的学情，还要通过课前的预测。笔者设计了以下3道题，作为学生的“预习单”。

（1）请试着计算。

1■÷4= 1■÷■=

（2）请解决问题。

王老师每天坚持锻炼身体，他用■小时走了1■千米的路，照这样算，王老师每小时可以走多少千米的路？

（3）请提出自己的困惑或你想问的问题。

通过对教材的梳理和预学单的检测以及学生反馈出来的问题，分析得到学生理解上的困难问题：为什么一个数除以分数，等于这个数乘以原分数的倒数？为什么一个数除以真分数其商变大？在解决问题时，为什么要用除法进行计算？

二、剖析难点，探究知识结构

1.分数除法意义相关知识的梳理

对于分数除法的意义的探讨，与之相关的知识点主要有整数乘法的意义、乘法逆运算的概念、整数乘法的概念、分数乘法的概念、分数的概念等。关系如下图：

从上图中可以看出，分数乘法的意义是最关键的一个知识点，它是理解分数除法的意义的一个必要基础。如果学生深刻理解了分数乘法的意义，就可以按照这种逻辑去理解逆运算是如何进行的；相反，如果学生对分数乘法的意义不是很明白，分数除法的概念对学生来说就是随意的、难以理解的。所以，为了让学生理解分数除法的意义，课始教师应花点时间和精力，引导学生回顾分数乘法的意义。

2.分数除法意义三种结构的分析

（1）分数除法的包含结构。

尽管包含结构对于整数和分数来说是一样的，但在引入分数时也是需要指明的。在整数除法中，可用“求一个数是另一个数的多少倍”来说明，如8是2的多少倍，由于8除以2得到4，就说8是2的4倍。对于分数也可以这么说，如“■的多少倍是1■”，可以这样来创设情境：“有两条路，A路长1■千米，B路长■千米，问A路的长度是B路的多少倍？”这里就可以用1■千米除以■千米得到6。然而，当被除数比除数小时，这个除法的包含结构需要修改一下，即在原来叙述的基础之上，应该加上“求一个数是另一个数的几分之几”。

（2）分数除法的等分结构。

除法是乘法的逆运算。分数的乘法是已知一个表示整体的数，要求一个表示它部分的数。在分数除法中，表示整体的那个数是我们要求的未知数。例如：“一根绳子的■是1■米，那么绳子的全长是多少？”已知一部分绳子长1■米，也知道这部分是整根绳子长的■，可把1■米看成是这个数的一部分，这样就能很快得到绳子全长6米。

（3）因数和乘积的结构。

即在已知积和一个因数的条件下，求另一个因数，如“求乘■得积为1■的因数”。作为乘法的逆运算，除法是在已知乘积和因数的条件下去求另一个因数，从这个角度来说，可以这样来描述：假设积是1■，一个因数是■，求另一个因数是多少？

3.分数除法运算的算理分析

（1）利用“商不变的性质”来解释算理。

在此之前学生已经学过商不变的性质，在整数除法中，当被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商保持不变。如15÷5=3，所以（15×2）÷（5×2）=3、（15÷2）÷（5÷2）=3。那现在如果被除数和除数同时乘以除数的倒数，这时除数就变成了1，因为除以1不会改变大小，可以忽略。所以，等式就变成了被除数乘除数的倒数，如1■÷■=（1■×■）÷（■×■）=（1■×■）÷1=1■×■=6。

（2）利用“分数等价于除法”来理解算理。

学生学习分数与除法关系时，已经知道分数等价于除法，而且已经学会如何去括号和添括号及交换律。为此，分数除法又可以重新进行书写，如1■÷■=1■÷（1÷4）=1■÷1×4=1■×4÷1=1■×4。

三、解决难点，设计有效教学

1.创设有效情境，帮助学生理解意义

可在同一个主题下创设不同的情境，让学生理解除法的意义，如“王叔叔■天时间耕地1■亩，按照这个速度，一整天可以耕地多少亩”“昨天我骑自行车从A镇到B镇，花了1■小时，完成了行程的■，行完整个路程需要多少时间”等，然后让学生说一说每道题的意义，并想一想问题中具体量的大小，最后列式解决问题。

2.优化学习策略，丰富学生数学技能

验证：为什么除以一个分数等于乘这个分数的倒数？

（1）猜想，通过提供的情境，猜想除法的运算。

（2）动笔，根据题目的意义，动笔画出线段图。

（3）归纳，进行“图”和“式”对照，总结算理。

3.内化知识结构，提升学生思维品质

学生通过猜想和归纳，初步感知分数除法的算理，这时候再加以联系其他的知识结构，帮助其理解算理，这样学生的学习就会事半功倍。

通过这样的教学实践研究，使笔者感悟到，计算教学应该舍得花时间，让学生经历计算方法的探索过程，使学生真正掌握算法，提高计算能力。

（责编 蓝 天）