以“圆的面积”教学谈数学的“再创造”

谢碧英

[摘 要]生活是创造的源泉。数学教学中，通过联系生活，指导学生运用所学知识解决实际问题，使学生在这一过程中更加深刻地感知数学，既提高了学生灵活运用知识的能力，又发展了学生的创造性思维，培养了学生良好的数学思维能力。

[关键词]数学教学 再创造 教学情境 自主探索 实际生活 实践操作

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）20-037

荷兰著名的数学家、教育家弗兰登塔尔指出：“数学学习方法的核心是学生的‘再创造’。”在根据自己的体验和思维方式重新“创造”数学知识、数学思想方法的过程中，学生能更好地体会与理解知识产生、发展的过程，从而更好地掌握知识，并能够在实际生活中灵活地运用所学的知识解决问题。因此，在数学课堂中，教师应以“再创造”的方式进行教学，引导和帮助学生经历“再创造”的过程。下面以“圆的面积”一课教学为例，对数学教学中如何指导学生“再创造”浅作分析。

一、创设教学情境，在经验中“再创造”

学生数学学习中的“再创造”是基于自身的经验和思维方式进行的，因此在教学过程中，教师应有意识地创设教学情境，引导学生自然地融入课堂学习之中，调动学生已有的生活经验和数学知识，激活学生的思维，让学生基于经验进行“再创造”。创设教学情境的方法有很多，如创设生活情境、运用故事创设情境、以语言描绘情境、利用图画重现情境等。

师：大家喜欢小狗吗？

生1：喜欢，我经常带我家的小狗出去玩。

师：对。我们带狗狗出去玩的时候，为了防止它跑丢，要给它拴上链子。现在大家来想一想，如果你站着不动，拴着小狗的链子长1m，小狗在最大的范围内绕着你跑一圈，这一圈有多长呢？

生2：1m。

生3：不对。小狗绕着我跑一圈，跑的是个圆，它跑的一圈的长度应该是这个圆的长度。

生4：嗯，也就是这个圆的周长，我们上一节课学过。链子长1m，小狗绕着我跑，也就是以我为圆心，链子是半径，即1m，求出这个圆的周长就是小狗跑一圈的长度。

师：大家回答得很好。那我们再来想一下，小狗可以活动的最大范围是多少呢？

生5：6.28m，用圆的周长公式可以求出来。

师：大家能熟练地使用我们学过的公式，做得很好。但我们来想一下，周长是长度，而我们说的是小狗能够跑动的范围，它们是一样的吗？

生6：我觉得应该不一样，范围应该是个面吧？应该是小狗绕着我跑的这个圆的大小。

师：说得很对。大家来回想一下，我们学习正方形、长方形时，是怎样表示一个封闭图形的大小的呢？

生：面积。

……

通过创设生活情境，不仅可以让学生根据已有的知识和经验提出自己的想法，实现“圆的面积”这一概念的“再创造”，而且激发了学生的学习兴趣，促使学生积极主动地探究新知。

二、鼓励自主探索，在经历中“再创造”

数学学习的“再创造”是在学生观察、比较、发现的过程中实现的，学生只有通过自主探索，才能亲身经历数学知识形成、发展的过程，更加深刻地理解所学的数学知识。因此，在引导学生“再创造”时，教师应鼓励学生进行自主探索，让学生在参与知识探究的过程中构建自身的知识体系。

师：我们已经知道了圆的大小可以用面积来描述，也知道圆的周长与它的半径有关，那圆的面积与什么有关系呢？在回答这个问题之前，大家先来观察一下这三个图形（师先画圆，再画圆的内接正方形和圆的外切正方形，并标好半径），关于它们的面积，你有什么看法？

生1：圆的面积大于里面那个小正方形的面积，小于外面那个大正方形的面积。

师：对。如果我们已知这个圆的半径是1cm，你能不能算出这两个正方形的面积呢？它们的面积和圆的半径有什么关系呢？

生2：大正方形的边长就是圆的直径，也就是半径的2倍，它的面积是边长×边长，所以大正方形的面就是半径平方的4倍。

生3：小正方形的面积等于对角线乘积的一半，它的对角线是圆的直径，所以它的面积是半径平方的2倍。

师：大家说得很好。那根据大家得出的结果，再来想一想观察之前老师提出的问题，你能得出什么结论呢？

生4：圆的面积在它的半径平方的2倍和4倍之间。

师：对，那我们能不能让这个结论更精确一点呢？（指导学生采用数方格的方法，测出直径为3cm、4cm、5cm三个圆的面积，感知圆的面积是其半径平方的3倍多一点）

……

通过让学生进行观察、比较、猜想、验证等活动，鼓励学生主动积极地思考，挖掘学生潜在的创造意识，让学生自己去发现规律，从而实现知识的“再创造”。

三、注重实践操作，在感悟中“再创造”

实践操作既能将抽象的数学知识形象化，有利于加深学生对知识和规律的理解，又能使学生的认知从现象深入到本质。因此，在教学过程中，教师应注重学生的实际动手操作，让学生在实践操作中，通过思考、交流等活动，探究和理解数学知识。

师：我们已经学过平行四边形、长方形、三角形等图形面积的计算方法，其中平行四边形的面积计算公式我们是通过长方形的面积来推导的，那大家来想一想，圆的面积应该怎样计算呢？能不能用长方形的面积来推导呢？

生1：应该可以吧。

生2：不可以吧，长方形有棱有角，而圆是圆圆的。

师：看来，大家意见不一，那让我们来动手做一做，看看到底行不行。（先指导学生将一个圆剪成8等份，利用小扇形拼成长方形，再通过多媒体演示将圆分成16等份、32等份、64等份……）从刚才大家动手操作和老师的演示来看，如果老师一直把圆分下去，最终会得到什么呢？

生3：可以得到一个长方形。

生4：这个长方形的宽是圆的半径，长是圆周长的一半，它的面积等于圆周长的一半乘以圆的半径。

生5：所以，这个圆的面积等于它周长的一半乘以它的半径。

生6：设圆的半径为r，则面积等于1 / 2×（2πr）×r，也就是πr2。

师：大家回答得很好。那大家来讨论一下，圆的面积除了能转化为长方形的面积来计算外，还能转化为其他图形的面积吗？

生7：可以转化为三角形。

生8：还可以转化为梯形。

师：大家的想法都很好。那我们的猜想正确吗？请大家分小组进行验证，然后说说你们的结论。

生9：我们把圆分别分成4等份、8等份、16等份……发现等分的份数越多，它就越像三角形。如果不停地将圆等分下去，就能将分成的小扇形看成三角形，圆的面积就是所有小三角形面积的和，所有小三角形的高都是圆的半径，所有小三角形的边长的和是圆的周长。如果设圆的半径是r，那么圆的面积S=1 / 2×r×2πr=πr2。

……

在实践操作过程中，不仅使学生感悟新知，建构自己的认知体系，实现“再创造”，而且能通过实践操作验证自己的猜想，使学生体会到成功的快乐，增强学生探索数学的热情。

总之，生活是创造的源泉。通过联系生活，指导学生运用所学知识解决实际问题，能使学生更加深刻地感知数学，既提高了学生灵活运用知识解决问题的能力，又发展了学生的创造性思维，培养了学生良好的思维能力。

（责编 蓝 天）