挖掘习题资源 拓宽学生思维

毛裕浩

在练习课中，针对习题是让学生找到答案，训练学生的解题技能，还是让学生挖掘习题资源，拓宽学生的数学思维，不同的教师根据自己的教学理念和原则会有不同的思考，会采取不同的教学方式. 如果从短期效应上思考，训练学生的解题技能会有显著的效果，如果从学生的长远发展看，挖掘习题资源进行整合教学会更能拓宽学生的思维. 以下是笔者在运算定律的相关练习中进行了整合练习的实践与思考.

一、开放切入，知识整合

在研究了加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律以后，学生已经明白可以用含有字母的式子来表示各种运算定律. 在复习的时候，笔者采用了以下的组织方式：

【教学片段一】

师：先在黑板上写出“a + b”，然后问：接下来老师会怎么写？

生1：可能会写出加法交换律的字母式.

生2：不一定，也可能是加法结合律的字母式.

师：为什么？

生2：因为你没有写上等号.

生3：可能是写加法交换律的字母式，也可能是加法结合律的字母式.

师：你们想到了两种可能，挺好的，如果是表示加法交换律呢，接着怎么写？

生：a + b = b + a

师：这两个加数变的是什么？不变的又是什么？

生：变的是加数的位置，不变的是加数的样子，（是学生日常的数学语言，是两个加数的值），当然和是不会变的.

师：如果a是25，b是几？

生：任何数都可以.

师：如果表示的是加法结合律，接下去又该怎么写呢？

生：（a + b） + c = a + （b + c）

师：原本计算的顺序是先算a + b的，现在改为先算b + c了，说明b + c有可能出现什么情况？

生1：加起来满整十、整百、整千，等等.

生2：又有可能是几百几十，等等.

师：你们的意思是b + c先算简单是吗？b如果还是25，c还可以是任何数吗？

生1：可以是25，15，75，975，等等.

生2：个位只要是5的都行.

师：b如果还是25，c要有选择性的数，不是任何数都行，归根结底就是b + c算起来要简单. 运用加法结合律时，结合的两个数字要有选择，把容易算的两个数结合在一块先计算. （乘法交换律、乘法结合律的复习研究同上）

思考：在研究加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律时，学生对交换律比较容易理解，不变的是两个加数（因数），变的是两个加数（因数）的位置，最终和（积）不变. 学生由于受到年龄因素的影响，对“交换”强信息的摄入及看题习惯的干扰，像“37 + 45 = 35 + 47” 会误认为也使用了加法交换律，交换的一个数的个位，而不是整个数字，和虽然没变，但这个式子并没有运用加法交换律. 在研究加法、乘法结合律时，通过学生的自主参与搞清楚为什么要结合？结合的目的是什么？结合的标准是什么？哪些数字可以结合？……如果单独的将这些运算定律分开复习，并配以大量的练习跟进，学生的知识回顾会呈分散状态，不利于知识间的整合. 如果能以一个开放的习题为切入口，回顾会出现的种种可能，在回顾中将知识整合并予以很好区分，并配以变换和纠错的练习，这样会实现知识的有效建构和合理区分.

二、一题多用，知识联通

同一道练习题要最大限度发挥它的价值，对练习题进行再次开发和利用，做到一题多用，知识联通. 以下是一组口算题的再次开发和利用.

【教学片段二】

学生课前计算一组口算题：

12 × 5 = 35 × 2 = 125 × 8 =

45 × 2 = 25 × 4 = 15 × 4 =

16 × 5 = 24 × 5 = 25 × 8 =

首次使用：

學生各自计算出结果，校对答案，掌握正确率并纠错.

开发利用一：

师：我们能口算出这些式子的积，你们觉得这些式子会在什么地方发挥作用？（待学生一定时间的思考后，陆续有学生表达自己的想法. ）

生1：可用在乘法结合律中.

生2：是的，如果碰到这些数，就可以结合起来，结合后好算.

师：哦！原来这些数字结合在一块能较快计算出结果.

开发利用二：

师：这里边有很像的两个式子，25 × 4和24 × 5是运用了乘法交换律吗？

生1：是的

师：真是吗？

生2：是的.

（不做评论，等待）

生3：不是.

师：说说想法？

生3：这两个式子的积不同.

师：运用乘法交换律的两个式子，积是相等的.

生1：哦！我要改变我刚才的说法，这两个式子没有运用乘法交换律，因为这两个因数变了.

师：式子咱们要像刚才这名同学那样看仔细. 乘法交换律是交换两个因数的位置，积不变.

师：25 × 4运用交换律的式子应该是：

生：4 × 25

师：24 × 5呢？

生：5 × 24

思考：这9道简单的口算题，对于学生正确计算出结果，问题不大. 关键是如何在计算结果的同时高效使用这些式子，如何挖掘式子中隐含的知识资源是我们教师应该认真思考的. 隐含知识资源一：这些式子可以理解为乘法结合律中互相结合的那一步，结合的标准是好算，容易快速得出结果；隐含知识资源二：由于学生看题习惯和接近数字对学生 的干扰，对数字比较接近的式子，学生容易上当，通过仔细比较中进一步理清了乘法交换律的本质，即变的是什么？不变的是什么？每一道题都有它使用的本身价值和开发利用价值，如果教师能以整合知识的眼光去处理一些题，挖掘习题资源，开发利用题目，做到一题多用，切实加强知识间的有效联通.

三、体现灵活 突出思維

同一道题用不同的方法去解决会呈现不同的解题思路，体现知识运用的灵活性.

【教学片段三】

师：用不同的方法计算：25 × 28

在没学乘法结合律、分配律之前，学生会用列竖式计算的方法计算，学了乘法结合律、分配律之后，学生会呈现不同的计算方法.

① 竖式计算

2 5

× 2 8

2 0 0 25 × 8 = 200

5 0 25 × 20 = 500

7 0 0 200 + 500 = 700

② 用乘法分配律计算

③ 用乘法结合律计算

25 × 28 25 × 28

= 25 × 4 ×7 或 = 25 × 2 × 14

= 100 × 7 = 50 × 14

= 700 = 700

思考：计算25 × 28的结果，可采用不同的策略. 可分为两大类，一类是用笔算的方式，另一类是将其中的一个因数拆分（拆分成两个数相加、相减、相乘）后再乘. 在笔算时应让学生清楚笔算的每一步是怎么来的，分别用式子表示出来，其实在解释每一步计算过程的时候已经隐含了乘法分配律的运用. 拆分一个因数时应让学生理解两点：一是拆分哪个因数？可以随便拆分一个因数吗？二是确定要拆分的那个因数是拆成相加、相减、还是相乘？可以随意地拆吗？与另一个不拆的那个因数有什么关系. 学生在没学乘法分配律之前，对乘法结合律的具体运用比较熟练，一旦将两种运算定律放在一起使用，学生会有一定的困难. 面对这一现象，不防以一种直白的方式告诉学生：乘法结合律使用时，式子中只出现乘号，不出现其他的运算符号，如果将一个因数拆成是两个数相乘，就要用到乘法结合律的知识；如果将一个因数拆成两个数相加或相减，就要用到乘法分配律的知识.

一组看似平常的习题，却让学生经历了探索、发现、验证、运用规律的全过程. 像这样的习题在平时的教学中还有很多，作为教师，我们要充分研究习题，挖掘习题的价值，将习题整合运用，让习题成为诱发学生求知欲、开阔学生视野、深化学生的思维、提高学生综合能力的有效载体. 这样，我们的习题教学才能跳出训练技能的局限，获得更大的教学效益.