复合最值问题的常见类型与解题策略

吴卫东

[摘 要]复合最值问题是近年高考经常出现的求最值问题.对复合最值问题的常见类题作了探究，并提出相应的解题策略.

[关键词]复合最值问题 常见类型 解题策略

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320045

近年来，各级、各类试题中常出现在最大值中求最小值或在最小值中求最大值的问题，即求复合最值问题.本文就此类问题的常见类型与解题策略进行介绍.

一、涉及一个变量，转化为函数的最值问题

即形如求一元函数H（x）=max{f1（x），f2（x），…，fn（x）}的最值的问题.

1.数形结合

【例1】 （2013年高考辽宁卷第11题）已知函数f（x）=x2-2（a+2）x+a2，g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8.设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最小值为B，则A-B=

（ ）.

A.16

B.-16

C.a2-2a-16

D.a2+2a-16

解析：记函数f（x）表示的抛物线顶点P（a+2，-4a-4），函数g（x）表示的抛物线顶点Q（a-2，-4a+12），作出两个函数的图像，考查图像是否有交点.令f（x）=g（x），x2-2（a+2）x+a2=-x2+2（a-2）x-a2+8，即x2-2ax+a2-4=0，得x=a+2或x=a-2.所以

顶点P与顶点Q恰好都在对方的图像上，

如右图可知，粗线条表示的函数是H1（x），细线条表示的函数是H2（x），所以H1（x）的最小值是顶点P的纵坐标，H2（x）的最大值是顶点Q的纵坐标，即A=-4a-4，B=-4a+12.所以A-B=（-4a-4）-（-4a+12）=-16.

点评：形如求一元函数H（x）=max{f1（x），f2（x），…，fn（x）}的最值，可分别先作出f1（x），f2（x），…，fn（x）的图像，分段找出函数H（x）的图像，通过直观地观察H（x）图像的最高（低）点，即可得到函数H（x）的最值.

2.分类讨论

复合最值问题一般包含内外两个层次，当内层函数个数较少时，可以先比较

f1（x），f2（x），…，fn（x）

的大小关系，进行分类讨论，去掉不是最大（小）的函数，往往便于这类问题的解决.

【例2】 （2012年湖南高考第20题）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

解析：这三种部件的生产同时开工，完成订单任务的时间应是分别完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间中最长的，要使完成订单任务的时间最短，即求最大值的最小值.

解：若设生产A部件的人数为x，完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1（x），T2（x），T3（x）.由题设有

T1（x）=2×30006x=

1000x，

T2（x）=2000kx，

T3（x）=1500200-（1+k）x

，其中x，kx，200-（1+k）x均为1到200之间的正整数.

要求完成订单任务的时间，即求f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}的最小值，其定义域为{x|0

易知，T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数.注意到T2（x）=2kT1（x），于是有

（1）当k=2时，T1（x）=T2（x），此时f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{1000x，1500200-3x}.

由函数T1（x），T3（x）的单调性知，当

1000x=1500200-3x

时，f（x）取得最小值，解得

x=4009

.由于44<4009<45，而f（44）=T1（44）=25011，f（45）=T3（45）=30013，f（44）

故当x=44时，完成订单任务的时间最短，且最短时间为f（44）=25011.

（2）当k>2时，T1（x）>T2（x）

，由于k为正整数，故k≥3，此时

1500200-（1+k）x≥

1500200-（1+3）x=

37550-x

，记T（x）=37550-x，则

T3（x）≥T（x）

，记φ（x）=max{T1（x），T（x）}，易知T（x）为增函数，则

f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=φ（x）=max{1000x，37550-x}

.

由函数T1（x），T（x）的单调性知，当1000x

=37550-x

时，φ（x）取得最小值，解得x=

40011

.由于

36<40011<37，而φ（36）=T1（36）=2509>25011，φ（37）=T（37）=37513>25011，

此时完成订单任务的最短时间大于25011.

（3）当k<2时，T1（x）

当2000x=750100-x时，f（x）取得最小值，解得x=80011.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.

综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68.

点评：分类讨论的策略应该是解决复合最值问题的最基本策略，但往往用于函数个数较少，且易进行比较的情况，一旦函数个数较多且比较复杂时，就需要寻求其他的方法.

笔者在教学中发现，有这么一类复合最值问题，可借用问题中变量的算术平均值、几何平均值或随机变量的平均值（数学期望），利用均值原理将问题作适度放缩后再估值，求其上界或下界，进而说明上界或下界的估值可取.这种处理多元复合最值问题的方法简称均值法.

二、涉及多个变量，利用不等式整体求最值

即形如H（x）=max{f1（x1，x2，…，xn），f2（x1，x2，…，xn），…，fm（x1，x2，…，xn）}的多个变量、多个函数的复合最值问题.

1.利用不等式性质

【例3】 （2009年宁夏理科数学）设实数x≥0，求max{min{2x，x+2，10-x}}的值.

解析：设m=min{2x，x+2，10-x}，则

m≤2x

m≤x+2

m≤10-x

，

而2m≤（x+2）+（10-x）=12，即m≤6.

当且仅当m=x+2=10-x，即x=4时，取等号.

所以max{min{2x，x+2，10-x}}=6.

点评：由m≤x+2，m≤10-x，利用不等式的性质，相加得2m≤（x+2）+（10-x）=12，进而得出m≤6，只需验证即可得到结论.

【例4】 （2006年浙江高中数学竞赛）

max

a，b，c∈R+

{min{1a，1b2，1c3，a+b2+c3}}= .

解析：设t=min{1a，1b2，1c3，a+b2+c3}，则0

max

a，b，c∈R+

{min{1a，1b2，1c3，a+b2+c3}}=3

.

2.利用均值不等式

【例5】 （2013年浙江省高中数学竞赛第16题）

若a>0，b>0，求

min{max{a，b，1a2+1b2}}

的值.

解：设max{a，b，1a2+1b2}=M，则M≥a，M≥b，M≥1a2+1b2，

即M≥a+b+1a2+1b2

3.

而a+b+1a2+1b2=

a2+a2+b2+b2+1a2+1b2

≥66a2·a2·b2·

b2·1a2·1b2

=

66116=

332.

所以M≥32，当且仅当a2=1a2，b2=1b2

，即a=b=32时，取等号.

所以min{max{a，b，1a2+1b2}}=32.

点评：借用均值不等式将问题进行适当放缩后再估值，求出其上界或下界，只要说明估值的上界与下界可以取得就行.从整体入手，把握规律，可化繁为简，使问题迎刃而解.

3.利用含绝对值的不等式

【例6】 （2011年苏州市调研卷）

已知x，y∈R，求min{max{|x-2y|，|1+x|，|2-2y|}}的值.

解析：设M=max{|x-2y|，|1+x|，|2-2y|}，则有

M≥|x-2y|

M≥|1+x|

M≥|2-2y|

，

从而有M≥13（|x-2y|+|1+x|+|2-2y|）≥

13|（2y-x）+（x+1）+（2-2y）|=1

，

当且仅当x=0，y=12时，|x-2y|=|1+x|=|2-2y|=1，

所以min{max{|x-2y|，|1+x|，|2-2y|}}=1.

点评：本题利用含绝对值的不等式|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|，整体构造定值，进而解决问题.

（责任编辑 钟伟芳）