对一道期中试题的多视角求解

李瑞华

[摘 要]从不同视角给出一道期中考试题的多种求解方法：直接计算长度，运用弦心距、圆的参数方程、直线的参数方程等手段解题；通过轨迹方程，借助圆求范围.

[关键词]圆 弦心距 基本不等式 轨迹方程

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320044

我校在组织高二期中考试时命制了一道题目，笔者从不同的视角给出该题的多种求解方法，旨在发散学生思维，开阔学生的视野，培养学生的综合能力.题目如下：

（2016·南京期中，13）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若PQ

=PM+PN

，则|PQ|的取值范围是 .

一、计算长度，转移构造

方法一（弦心距巧构圆）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.设O到PM、PN的距离分别为d1、d2，则d21+d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2=PM2+PN2≤（16-d21+

8-d21）2+（16-d22+8-d22）2，设x1=

16-d21，y1=16-d22，x2=-8-d21，

y2=-8-d22，则x21+y21=24，22≤x1，y1≤4，x22+y22=8，

-22≤x2，y2≤0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则点A在圆x21+y21=24的第一象限部分的圆弧上，点B在圆x22+y22=8的第三象限部分的圆弧上，如图1，∴|PQ|≤|AB|≤26+22；

|PQ|2=PM2+PN2≥（16-d21-8-d21）2+（

16-d22

-8-d22）2，如图2，仿上求得|PQ|≥|AB|≥26-22.当且仅当d1=d2=2时，取等号.

综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26+22].

图1图2

方法二（三角换元巧构不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.

设M（4cosα，4sinα），N（4cosβ，4sinβ），则|PQ|=|MN|=8|cosα-β2|，∵PM⊥PN，∴PM·PN

=0，

∴4（1-2cosα）（1-2cosβ）+4（1-2sinα）（1-2sinβ）=0，

∴4cos2α-β2-2cosα-β2（sinα+β2

+cosα+β2）-1=0.

∵sinα+β2+cosα+β2∈[-2，

2]，∴6-24≤cosα-β2≤6+24，∴

|PQ|∈[26-22，26+22].

方

法三（弦心距构造基本不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.

设O到PM、PN的距离分别为d1、d2，则d21+d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2≤32+2×

13×16-d21×（38-d21）+2×13×16-d22

×（38-d22）≤32+13[16-d21+3（8-d21）+16-d22+3（8-d22）]=（26+22）2，∴|PQ|≤26+22.仿上求得|PQ|≥26-22.

综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26+22].

方法四（直线参数方程构造基本不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.

设直线PM的参数方程为

x=2+tcosθ

y=2+tsinθ

，PN的参数方程为

x=2+tcos（θ+90°）=2-tsinθ

y=2+tsin（θ+90°）=2+tcosθ

，代入圆O的方程，解得t=-2（cosθ+sinθ）±23+sin2θ或t=-2（cosθ-sinθ）±23-sin2θ，

∴|PQ|2=4[8±2（cosθ+sinθ）3+sin2θ±2（cosθ-sinθ）3-sin2θ]≤（26+22）2，∴|PQ|≤26+22；同理，仿上求得|PQ|≥26-22.

综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26+22].

二、轨迹方程，助力长度

方法五（轨迹方程——定义法）：∵OP2+OQ2-OM2-ON2=（OP-OM）·（OP+OM）+（OQ-ON）·（OQ+ON）=MP·（OP+OM-OQ-ON）=0，∴OP2+OQ2=OM2+ON2，∴OQ=24.下同方法一.

方法六（消参法）：设M（x1，y1），N（x2，y2），由PM⊥PN和M、N在圆O上及中点公式知，消去参数x1，y1，x2，y2得x2+y2=32-8=24，下同方法五.

（责任编辑 钟伟芳）