浅谈高中数学中的变形技巧

梁文富

摘要：在解决数学问题中，常常要对给出的式子进行变形而对式子的变形没有统一的规定，一个式子有时可从不同方向进多种变形，选择怎样的方向变形则因题而异，技巧性非常强。虽然式子的变形没有统一的规定，但是对同类问题有一定的规律和技巧，需在平时多总结方法。高中数学中基本不等式、三角函数的应用较多，本文主要对其中常用的变形技巧进行简要小结和分析。

关键词：变形技巧 基本不等式 三角函数

【中图分类号】G633.6

变形技巧是解决数学问题的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。我们对式子变形实质上是为了将式子转化为可解决问题的某种形式，为下一步解决问题做准备。变形属于技能性的知识，其中存在着一定的技巧和方法，需要人们在学习和解题的实践中反复提炼才能把握其技巧，以至在解题中灵活应用。下面介绍基本不等式、三角函数变形中常用的变形技巧。

1、基本不等式的变形技巧

在高中数学中多应用基本不等式来求函数的最值、值域等，在解题过程中对已知条件给出的式子灵活变形使基本不等式出现积（或和）为定值是解决问题的突破口。常用的方法为拆、添、配凑、代换，现就常用技巧给以归纳。

（1）拆、添、配凑

在解决与不等式相关的问题中，拆、添、配凑有各自不同的方向和技巧但往往又是紧密相连的，拆、添常常为配凑做准备。拆常数：将不等式中的某个常数进行拆分成题中所需的常数。拆系数：将不等式中某些项的系数进行拆分。拆常数或系数多为配方创造条件。拆项：将不等式中的某些项进行拆分，为使用基本不等式创造条件。添倍数：不等式的左右两边添上倍数（注意符号），为配方创造条件。添式：在不等式的两边添上一个代数式，为使用基本不等式创造条件。

例1、x>3，求函数 的值域。

分析：添常数将 凑成含基本不等式结构的式子

例2、已知 ，则 ，求函数最小值。

分析：本题已知函数式为分式看似无法使用基本不等式，对函数式进行配凑变形再分离便可构造出基本不等式。

，

技巧点评：在求分式型函数的最值中常用配凑的变形技巧，可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑。通过拆、添常数，逐步配凑基本不等式并分离出一个常数，这是分式函數求值域常用的方法。在解题过程中常常需要采用“拆项、补项、配凑”等变形技巧找到定值，再利用基本不等式来求解，使得复杂问题转化为简单的问题。

（2）常值代换

这种方法常用于如下两类题型

①“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求1x+1y的最小值.”

②“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求x+y的最小值”

例3、若 且满足 ，求x+y的最小值。

分析：结合问题和已知条件进行“1”的代换 可将问题转化为求含有基本不等式结构 ，接着可利用基本不等式求函数最值。

技巧点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解决问题。利用基本不等式求函数最值时，还需注意“一正、二定、三相等”，通过变形技巧找到定值，若和定则积最大，若积定则和最小。

2、三角函数的变形技巧

高中阶段三角函数与初等代数、初等几何紧密联系，是初等函数的重要部分。解决三角函数求最值问题常常要对三角函数式进行灵活的变形，而其变形主要有三个基本方向一是看角、二是看函数名称、三是看结构特征。除此之外，我们还常常结合代数的变形技巧和构造法，为三角函数的变形创造一定的条件，现就常用技巧给以归纳。

角的变换

在三角函数的求值、化简与证明题中，函数式常常出现较多的不同的角，但这些角又有一定的联系。解题过程中分析条件与结论中角的联系，进行三角函数变换 主要是“消除差异，化异为同”。根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换能有效解决问题。

例4、已知 ，求证： 。

分析：可以考虑将条件中的角 和 配凑成求证结论中的角 ，即 ， ，再利用三角函数和差关系解决问题。

函数名称的变换

题目中若出现不同名称的三角函数，这就需根据同角三角函数关系式或诱导公式将异名的三角函数化为同名的三角函数，达到“消除差异，化异为同”的目的。函数名称的变换中最常见的就是切割化弦。

例5 、已知 ，试用 表示 的值。

分析：将已知条件中“切化弦”将原式转化为关于 的式子即 。

（3）常数的变换

在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，或将三角函数转化为常数，从而构造所需的函数式。例如常数“1”的变换有： ， 以及一些特殊角三函数值等等。

例6、求函数 的最小正周期，最大值和最小值。

分析：由所给的式子 可联想到

（4）幂的变换

对于一些次数较高的三角函数式，一般采用降幂的方法处理，达到化简的目的。而降幂并非绝对，有时也常需要对于无理式 用升幂处理化为有理式。

（5）公式的变形与逆用

高中教材中给出每一个三角函数公式的基本形式，但在解题的过程中往往要对基本公式变形后加以应用，有时也需逆用公式。顺公式较容易，而逆用公式较困难，因此要有逆用公式的意识和思维。这要求我们既要熟悉基本公式又要对其变通形式有所了解。

三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要基础。三角函数式的恒等变形常应用于化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。变形中还需注意符号的变化，以及三角函数定义域和值域的范围。

参考文献

[1] 张振继.利用基本不等式求最值十大变形技巧.中学数学杂志，2010（3）

[2]李在贵.浅议三角函数变换的技巧[J]青年时代，2014（20）