对数学问题及解题教学的思考

云勇

【摘要】文章从解题教学的角度系统地分析了数学问题及问题解决的基本过程和教学启示，以解题教学研究理论为基础深入剖析了当下解题教学的弊端，并提建议和思考.

【关键词】数学问题；问题解决；解题教学

1.数学问题的概念

数学问题笼统地说是现有水平与客观需求之间的矛盾，问题就是矛盾.该叙述仅从问题本身的本质特点对问题进行了高度的概括，而从问题解决的心理角度出发，具备以下特点的数学问题才能成为学生的问题：①学生能理解问题并愿意解决问题；②学生具有解决问题的知识；③问题的答案不能被学生一眼看出.只有这样的问题才具有教育教学的意义，例如：哥德巴赫猜想是一个问题，但从教学的角度，从学生心理特征角度看，它不能成为学生的问题.而作为高中学生计算5×0.2不成为问题，因为问题解决要具备教育功能，至少要达到具有巩固数学知识、训练数学技能、贯穿解题策略、发展学生思维的作用，所以问题应具备理解性.障碍性和挑战性.美国著名的问题解决专家凶菲尔德给出了“好问题”的五条审美原则，即一个好问题必须是容易接受的，有多种解题方法，蕴含了重要的数学思想，不故意设陷阱，可以进一步开展和一般化.数学教师都有自己的数学教学观念和对问题好坏的评价标准，在教学中数以千次地应用这些标准去为自己的学生选题，但各自所拥有的评价标准是否合理是值得探究的.

2.数学问题解决的模型

问题的特征不同，问题的类型也就不同，从而解决问题的模型也就各有差别，只能从问题解决的基本特征上得到大致的过程模型.根据我国高考数学问题的特点将各种类型问题的解题过程做深入研究，得到具体类型问题的解题过程模型成为当下教辅图书编写的主要思路（能提高学生的分数），但解题过程模型越是具体，则针对的问题面也就越窄，这样处理有使学生进去机械模仿的嫌疑，不利于学生解题能力的提高.所以在教学实践中将抽象的解题模型适当具体到问题，应用到课堂，才有利于学生解题能力的提高，例如波利亚的著作《数学的发现》中就归纳了几种常用的具体解题模型，前四章就分别是双轨迹模型、笛卡尔模型、递归模型、叠加模型.

3.数学问题解决的特征

问题解决具有多步化归、多元表征、多层结构等特征，相关研究颇为丰富，这里做简要概述.所谓“化归”，是把未知的、待解决的问题转化为已知的、已解决的问题，从而解决问题的过程.弗里德曼说：“解题就是把题归结为已经解过的题.”而波利亚的《怎样解题表》中有30多个问句或建议体现了化归的策略.数学问题解决的多步化归使得“典型例题”在解题能力提升的过程中起到了关键的地位.只有掌握了一批典型例题，在解决新问题时才容易找到化归的方向.但实际教学中不能因为讲典型例題，而忽视了问题是提高思维能力的载体这一基本理念（笔者观点），殊不知，典型例题也有被第一次被解决的过程，以后多次解决类似的问题，典型例题才能被熟悉，才能有被应用与化归的可能.

知识表征指知识在头脑中的表示形式和组织结构.知识是个体与信息甚至整个情境相互作用而获得的，个体一旦获得知识，就会在头脑中用某种形式和方式来代表其意义，把它储存起来.而问题表征是指问题解决者通过审题，认识和理解问题的结构；通过联想，激活头脑中与之相关的知识和经验，将外部信息转化为内部信息，形成问题空间的过程.由于知识在头脑中储存具有多样性，决定了知识表征的多样性，如函数的单调性就有文字性表征、图像表征、符号表征，学生甚至会采取弱表征的思维习惯，用具体函数的单调性表征一切函数的单调性，而问题表征需建立在知识表征的基础上，所以问题表征变得更是复杂多元，如数形结合思想实际上是代数表征与几何表征之间的转化，特殊化事实上是不完整的问题表征方式，因为特殊化反映了问题解决的一个状态结构.所以教学中如何引导学生采取合理的问题表征方式成为解题教学的重点.而当前对问题表征的研究纷乱复杂，以致表征理论的实际应用显得更为困难，所以建立解题教学中各类问题的有效的问题表征策略是理论与实践结合的重点.

数学问题既包括结构良好的问题，也不良结构的问题，而问题的结构特征与相关知识领域有密切联系，多层结构这一特点是针对问题结构特点而言的，但是问题的结构特点决定了解题过程的多样性、思维的开放性等特点，这是值得重视的.特别地，不良结构的问题对学生思维的训练更为有效.

4.影响数学问题解决的因素

影响数学问题解的因素大致可以分为两类：内部因素（知识基础、解题策略、元认知、信念、动机）和外部因素（对问题的熟悉程度、环境因素、题型、问题的特点、结构、复杂程度、问题情境）.

问题的解决是解题者对问题的操作过程，影响问题解决的外部因素主要是问题的基本特征，内部因素反映了解题者对待问题的态度和操作问题的手段以及对操作问题过程中的监控.在教学实践中，更多地强调了外部因素对问题解决的影响，因为问题是可以看得到的，让学生更深刻地认识问题是容易做到的，但要提高学生的知识结构、发展学生解题策略、培养学生的元认知能力是看不到的，实际教学中我们忽视了内部因素对问题解决的影响.学生会解常规题，原因就在于学生机械地深刻地认识了常规题的问题特点，但是创新题、探究题及高考压轴题（也即难题）学生便束手无策，因为他们缺乏解题策略，没有解题信心，无法认识自己解题思维过程的确定性.所以，教学中应重视学生解题策略和元认知能力的培养，注重学生各类知识之间的转化与联结的建构.

内部因素培养要以问题解决为载体，问题解决需对问题的结构特点进行深入的剖析，所以内部因素和外部因素的培养是同时的，若只就题论题则必然会忽略内部因素的培养，使学生走向机械练习的题海战术.