二次函数在平面几何的应用

翁怡玲

【摘要】 平面几何图形是初中的一大重点，而二次函数也是初中的重点知识之一，然而把这两者结合在一起，就变成了大难点. 初中的平面几何主要涉及到直线、三角形、四边形和圆，本文也将对前面三种类型来谈谈二次函数在平面几何的应用.

【关键词】 二次函数；平面几何；应用

初中平面几何图形是高中空间几何的铺垫，如果无法掌握初中平面几何题目的解答方法，将来学习高中空间几何就难上加难. 近年来，中考特爱把二次函数与平面几何结合在一起，因此本文将对二次函数在平面几何中的直线、三角形、四边形的应用进行分析.

一、二次函数与直线

二次函数与直线应该是除了二次函数与点之外第二简单的了. 但是有时候二次函数与直线也是可以很复制的，而且还会涉及到三角形的面积. 根据笔者的教学经验，建议教师在讲解这部分知识点还是选择简单一点的题型进行讲解，这样可以照顾到大部分的学生. 因为在考试中，简单中等的题型所占的比例还是比复杂的题型要大.

例：如图，抛物线y = ax2（a ≠ 0）与直线AB交于点P（4，-4），连接OP，则OP = AP，求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标

解这道题的关键在于2个坐标点，就是点A和点P，尤其是点P是最关键的. 在解题之前，教师应当引导学生观察图像，找出解题的突破口，这样才省时，而且方向也是正确的. 通常什么东西同时跟另外两者都有关系，这个东西就是解题的关键. 一眼看过去，很明显，点P既在直线AB上， 同时也在抛物线y = ax2（a ≠ 0）上. 所以要求直线AB的解析式和二次函数的解析式都必须用到点P的坐标. 首先要求出直线AB的解析式，现在只知道点P的坐标，还要求A、B两点中其中一个点. 很明显点A的坐标是比较好求出的，由于OP = AP，则点A（8，0）. 再将A、P坐标代入直线解析式y = mx + n，求出m，n的值. 再将点P的坐标带入二次函数中，求出二次函数的解析式，再和直线AB解析式组成方程组，求出点B的坐标.

二、二次函数和三角形

一般，出题者都会考查二次函数的图像上是否存在一点使得某三角形存在或者某2个三角形相似，或者考查利用二次函数求三角形的面积. 相对来说，考查三角形的面积题目占的比例会比较多，而是否存在一个点使得三角形存在通常只在最后一道大题里面进行考核. 因此，笔者要分析的是如何利用二次函数求三角形的面积.

例：如图，直线l经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y = x2+1的图像，在第一象内相交于点C，求：

（1）△AOC的面积；

（2）二次函数图像的顶点与点A、B组成的三角形的面积

这道题说简单又不简单，因为它不单单是求一个三角形的面积，而是两个三角形的面积. 那面对这样的题目，我们应该如何解决. 方法就是逐一突破. （1）根据三角形的面积公式，要求△AOC的面积，需求出OA的长度和C点的纵坐标. 由点A坐标，可以得出OA = 3，再利用系数待定法设直线AB的解析式为y = kx + b，求出直线AB的解析式，再与二次函数的解析式联立，求出方程组的解，可得C点的纵坐标的值. （2）要求二次函数图像的顶点与点A、B组成的三角形的面积，就要先求出二次函数图像的顶点D的坐标，由顶点公式可以求出D的坐标（0，1），再根据三角面积公式即可求出该三角形的面积. 在此处，教师需要提醒学生，以后遇到点在坐标轴上，都可以利用顶点公式求出这些点的坐标.

三、二次函数与四边形

初中所学的四边形，包括平行四边形、梯形、菱形、矩形等. 二次函数和四边形的结合通常考查的也是二次函数的解析式和四边形的面积. 通常只要求出四边形的4个顶点的坐标就能求出该图形的面积. 但是有一种比较特殊的考查方式，就是利用二次函数求四边形的面积最大值，这个又涉及到函数的最值问题，而不单单是几何面积这么简单.

例：如图，二次函数y = ax2 + bx的图像与一次函数y = x + 2的图像交于A、B两点，点A的菁优网横坐标是-1，点B的横坐标是2.

（1）求二次函数的表达式；

（2）设点C在二次函数图像的OB段上，求四边形OABC面积的最大值把x = -1和2分别代入y = x + 2，就可以求出A，B的坐标分别为（-1，1），（2，4），把这两点的坐标代入二次函数的解析式，就可以求出二次函数的解析式y = x2.

由于点C是动点，因此要设点C的坐标为（x，y）. 过点A、B作AM⊥x轴，BN⊥x轴，分别交于M、N.过点C作CP⊥BN于P，这样四边形OABC面积就可以用函数值表示了. 然后分别表示出，梯形AMNB的面积、△AOM的面积、△BCP的面积、四边形CPNO的面积，则四边形OABC面积s = 梯形AMNB的面积-△AOM的面积-△BCP的面积-四边形CPNO的面积 = -x2 + 2x + 3，再求出该二次函数的最大值即为四边形OABC面积的最大值. 教师主要引导学生将面积的最值问题一般要转化为函数的最值问题，再依据函数的性质解决.

另外，二次函数和圆的结合，也是常考的知识点. 如果考查的是动点的问题，则题目比较复杂，主要考查学生的综合能力，涉及的知识点也是较为广泛的. 这类的问题需要靠学生平时的个人积累以及思维能力的培养. 通过以上三个例子，可以发现数形结合的思想初中数学教与学可以同时解决函数问题和几何问题，也越来越受教师和学生的青睐. 教师要在平时的课堂中强化数形结合的思想观念，这样帮助学生突破函数难关，走出困境，更加热爱数学.

【参考文献】

[1]陆文娟.二次函数图像中三角形面积计算问题.初中数学教与学，2012（19）：15.

[2]刘洪生.二次函数解简单动态几何中的面积最值问题. 新课程（下），2013（04）：135.

[3]幸利.利用数形结合 突破函数难关.初中数学教与学，2014（08）：14-16.

[4]王竞进.二次函数与几何图形综合题例析.初中生世界，2015（23）：39-43.