用“裂项法”求解一类高考数列题

王琪芬

【摘要】高考题是既源于教材，又注重能力，处处体现创新。所以在平常的教学和学习中，关键要学会学习方法，注重理解，才能提升能力，有所创新，以不变应万变。而不要盲目背题型，套模式，做题目。

【关键词】数列求和 裂项法 分式数列 等比数列 等差数列

普通高中课程标准实验教科书（A版）必修5第47页，习题2.3 B组第4题：数列{ }的前 项和 。研究一下，能否找到求 的一个公式，你能对这个问题作一些推广吗？

显然，我们不妨把数列{ }叫分式数列，其求和方法为“裂项法”。即因为 = ，所以

= = = 。

推广：一般地，形如分式结构的数列求和问题，可考虑用“裂项法”使数列裂项后能前后相消达到求和的目的。

2014年高考数学试卷中，有关数列求和问题，有的和分式数列求和有关，但又不是简单的课本上所讲的裂项，他需要我们根据题目的特征进行分析，整理，构造。真正体现出高考出题的“源于课本，重在能力，体现创新”的精神，确实需要我们在教学和学习中去体会。

例1. （2014大纲卷理18） 等差数列 的前n项和为 ，已知 ， 为整数，且 .（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和 .

解：（1）因为 ，所以 ，得到 ，又因为 为整数，所以 ，所以 。

（2）因为 = = 。所以 =

= 。

[评析]：本题（2）与课本题是同一类题型，关键是裂项时要注意等价变形。

例2.（2014新课标卷理17）已知数列 满足 =1， .

（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；

（Ⅱ）证明： .

（Ⅰ）证明：由 得 ，所以 ，所以 是等比数列，首项为 ，公比为3，所以 ，解得 。

⑵ 因为 ，所以

。

所以 +

.

[评析]：本题（2）从形式上看是不等式的证明，进一步分析确是分式数列求和，但这个分式数列通顶公式的分母中只含一项，按常规不能用裂项法，要用裂项法就要再构造一相邻项从而达到裂项目的。由此可看出出题人的良苦用心。

例3.（2014山东卷理19）已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列.（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 .

解：（I）∵

解得

（II） ，

[評析]：本题（2）中虽然是分式数列，但按常规，通项裂成相减的两项显然不能达到要求，而恰恰相反它能裂成相加的两项，此时注意到前面的符号关系，马上就能达到要求。

综上所述，高考题是既源于教材，又注重能力，处处体现创新。所以在今后的教学和学习中，关键要学习方法，注重理解，才能提升能力，有所创新，以不变应万变。

【参考书目】

2014高考试题。