高中数学圆锥曲线教学及在解题中的应用探析

赖春葵

【摘要】在高中数学教学中，圆锥曲线作为平面几何学习的基础，是非常重要的章节，但是考虑到其中部分内容相对较难，导致很多学生失去了学习兴趣，甚至产生了畏惧感.因此，本文针对高中数学圆锥曲线教学进行了具体分析.

【关键词】高中数学；圆锥曲线；定义；解题

由于高中数学当中的圆锥曲线题目具备较强的灵活性，并且还会将多种知识运用到解题之中，并且也是历年以来高考数学的压轴题，解答难度较大，并且得分偏低.所以，作为教师就应该注意到教学的有效性.

一、创设情境，提升圆锥曲线教学趣味

开展圆锥曲线教学我们不难发现，学生很难在学习活动当中融入圆锥曲线的学习过程.如果能够为学生创设良好的情景，就能够提升学生对于圆锥曲线知识的学习兴趣.

比如，在教学过程中，对于“椭圆曲线的定义”就可以设置一个简单的探究性活动，创设出情境：事先准备一根细绳，然后将其两端固定在同一个点上，让学生套上铅笔，将绳子拉紧，然后移动笔尖，看看移动结束后画出来的是怎样的轨迹，然后再将细绳的两端在两个不同的点进行固定，将铅笔套上，将绳子拉紧后移动笔尖，看看移动之后的轨迹.这样的活动虽然很简单，但是具备一定的可操作性，通过这样的引入，学生也可以初步地认识到椭圆，同时，对于学习圆锥曲线的兴趣也有一定的帮助.

二、重视综合能力，努力为学生“减负”

在高考当中，圆锥曲线所涉及的考题基本上都属于综合类，其中包含了方程、代数、几何等多个方面的知识.所以，在解决这一类型问题的时候，就应该让学生尝试着将问题简单化，将问题细细划分之后，再进行综合性的考虑，这样的解决问题能够对于学生学习圆锥曲线有很大的帮助作用.

1.化繁为简

凡事都拥有两面性，就算是复杂的问题也是由多个简单的问题共同组成的.所以，在较难的问题解决中，就可以多个角度综合考虑，去发现问题的解决之点，避开“硬碰硬”.以下，通过实际的案例进行了具体的解答说明.

比如：在椭圆9a2+16b2=144上有A，B两点，O为椭圆的中心，求点O到弦AB的距离.

分析 这里，需要掌握A，B两点的坐标，如果直接求证，无论是A，B两点的坐标还是说利用A，B两点，都会变得非常复杂.所以，就可以从侧面考虑，避过正面，通过直线OA或者是OB方程与椭圆方程之间联立，就可以将A或者B的坐标直接求出来.

2.将陌生变为熟悉

绝大部分学生都会有一种感觉：对于老师已经讲过的题目，其实自己已经会做了或者是觉得在老师讲解之后，自己就可以做，但是一旦遇到了新的题目，就会出现手足无措的感觉.每一个题型，都需要仅仅围绕一个中心点，也就是所谓的万变不离其宗.所以，在遇到新题型或者是陌生的题型，首先自己不能够慌，要尝试着将陌生的题型转变成为熟悉的题型，然后逐步去解决，这样就能够很好地完成老师规定的任务.

三、渗透数形结合思想，帮助学生完善解题思路

解析几何在几何问题解决中是利用代数的方法，这是最典型的数形结合.所以，让学生拥有良好的数形结合思想，就可以妥当地解决圆锥曲线的问题.在平时的教学中，教师要懂得不断地向学生渗透数形结合的思想，帮助学生完善几何问题的解析思路.

第一，在解决圆锥曲线问题时，要让学生脑海中时刻有圆锥曲线图形的浮现，比如：曲线的焦点位置、抛物线开口的注意等，并且根据焦点位置以及开口的实际方向，就可以将直线同双曲线抑或是抛物线的位置最终判断出来，同时在思考中也可以结合具体的图形，不仅避开了烦琐的运算，同时也可以快速、准确地作出特殊情况的判断.

第二，在几何问题解题时，最主要的一点内容是动点轨迹方程的求证.在这一类型的问题解决过程中，就需要利用曲线、几何等等方面的综合知识，其本质就是将图形化成代数、将曲线化成方程，以此来了解曲线的性质.在动点轨迹方程的求证中，最常用的方式有：定义法、几何法、直接法以及参数法等，但是在轨迹方程求证的步骤中包含了：直角坐标系的建立，设置出坐标点，将方程式列出，进行化简处理，再将点的范围确定好，这些都是日常教学中需要注意并且应该加强训练的地方.

比如，已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2）.

（1）过点P作一条直线l，确定l斜率的取值范围，使得C与l之间分别存在一个、两个以及没有交点.（2）如果存在Q（1，1），尝试着判断以Q为中心点的弦是否存在.

图 1

本题命题的目的在于：第一个提问是为了考查双曲线与直线之间相交的交点个数，归结于方程组的解答；第二个问题主要是对圆锥曲线与直线问题的第二种方法——“差分法”进行处理.

考查知识点：在二次方程根当中对于根的个数进行判断，两点连线的斜率公式、中点坐标公式.

易错分析：在第一个提问当中，容易忽略二次项系数的讨论；在第二个提问当中，算得Q为中心点的弦的斜率为2，那么就认定直线是存在的.

方法与技巧：在面对弦长的中点问题的时候，常常是利用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标相互地联系起来，就可以进行相互的转化.

延伸练习：双曲线x2a2-y2b2=1上有一个点P，F作为一个焦点，那么将PF作为直径的圆同x2+y2=a2的位置是（ ）.

A.内切 B.内切或者外切

C.外切D.相离或者相交

四、高中数学解题中圆锥曲线定义的应用

1.利用定义来进行求证

在高考当中最常见的题目是：在题目的求证当中，常常会遇到通过第二定义的应用来证明抛物线焦点弦作为直径的圆与准线相切抑或是与相应的准线相离、将双曲线焦点弦作为直径与相应的准线相交等等题型.

2.利用定义来求轨迹

在解题当中，圆锥曲线定义使用最为平凡，也是最典型的求轨迹的方式之一.比如：已知定圆O1和O2，其半径分别为a，b，并且，有动圆M内切于O1，外切于O2，通过适当坐标系的建立，试着将M 的轨迹方程求出来，并且对于轨迹属于何种曲线加以说明.

对于这一类型题目的解决很明显会应用到圆锥曲线的定义，在解决的过程当中也不会很复杂，主要是利用O1O2的中心点O当作原点，以O1O2所在的直线为x轴建立平面坐标系，这样就可以得到O1，O2的坐标，然后将动圆的半径假设为r，通过动圆M内切于O1，外切于O2，就可以得到MO1和MO2，最后再利用两者的关系，就可以将M点的轨迹求证出来，确定焦点O1，O2，也就是双曲线的左支（x小于0），根据半径之间的关系，就能够将轨迹方程得到.

比如：在典型的例题应用当中，椭圆x2a2+y2b2=1（其中a>b>0）中有两焦点F1，F2（如图2所示），P为椭圆上任意一点，从焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，试着求出Q的轨迹.

所以，OQ=12AP=a.

这样，就可以将Q的轨迹为圆确定出来，这就是最常见的圆锥曲线定义的应用题目之一.

五、结 语

在圆锥曲线的问题解决当中，只有快速、准确地找准问题所在，能够熟练地掌握并且运用每一种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质以及图形.所以，在高中数学的圆锥曲线教学当中进行拓展性的练习对于学生的能力水平提升非常的关键，同时也是高中数学知识学习当中不可缺少的重要部分.

【参考文献】

[1]邹麟.圆锥曲线教学策略阐释[J].基础教育论坛，2011（12）：99-101.

[2]黄顺华.探究圆锥曲线概念教学的新思路[J].中学数学杂志，2011（7）：57-58.

[3]谢顺江.培养高中生数学应用能力的策略[J].数学学习与研究，2010（1）：119-120.