对一道数学考研试题的思考

周爽

【摘要】本文从一道考研题出发，讨论了反例在微积分教学中的必要性，并举例说明.

【关键词】研究生入学考试；极限；微积分；反例

本研究受中南财经政法大学校级教学研究项目（项目代码：21122911208）资助.

无穷级数一直是微积分中比较难学的一部分内容，学生在碰到这类问题时常常感到无从下手，而在2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）中就有这样一道关于级数的解答题：

本文作者在批阅试卷的过程中，发现该题的得分率普遍偏低，而（1）的得分率又远远低于（2）.下面我们首先来看一下（1）的一些常见解法，再来分析下考生出错的原因.

从上面列出的四种做法中，我们可以看到这道题的第一问实则是在求数列的极限，极限贯穿微积分的始终，相对熟悉、熟练些，所以考生在考试时不要被表象迷惑，应静下心来思考分析，寻找解题方法.下面我们重点来讨论下在考卷中最常用的解法4，实际上这恰恰是一种错误的解法，其他三种都是正确的.为什么说解法4是错的呢？很多学生在学习微积分时常常会有这样一个误解：如果能求出一个函数或数列的极限，那么就说明此函数或数列存在极限，而且求出的这个数就是极限.看看此例：对数列un，首项为2，递推公式为un+1=u2n.显然这个数列是不存在极限的.但是学生常会求“极限”：假设该数列极限为A，则A必须满足递推公式：A=A2，解出A=0 或 1.这里，0，1都不可能是极限.之所以会得到这种结果，原因就在于这个数列的极限虽然不存在，但通项逐渐趋于无穷大，对无穷大而言，是不能用A=A2求的.即使你还能证明某个数列是有界的，用上述求所谓极限的办法求出来的数也可能不是此数列的极限.考虑递推式为un+1=sinun的数列就会知道，这个数列虽然有界但不存在极限，而A=sinA的一个解是A=0（这点通过画图就可以看到），显然0并不是这个数列的极限.

那么上述例子是不是说明我们不能通过列方程的方法求数列的极限呢？事实上，此方法解题的正确顺序是证明存在极限然后求极限，而不是反过来，不能先假设有极限然后去求它.这里，我们再次体会到了数学这门学科在逻辑上的高度严密性，解决任何一个数学问题，无论是代数或是几何，证明题还是计算题，都要做到言必有据，因此解题时要时刻做到每步有依据.即使较明显的事实也要有理有据，学习时切忌凭想象自我发明创造.

上述问题也应引起我们的反思，一是广大考生在准备研究生入学考试时，除了要注重题海战术外，还应该花一些时间和精力搞清楚各种解题方法的原理本质，常总结在解题过程中容易犯的错误，学会用反例来加深理解；同时，这也提醒了数学教师在教学过程中，不要仅仅停留于教学生在碰到一道数学问题时应该怎么做，更重要的是告诉他们为什么可以这样做，理论依据是什么，这些原理应怎样 “正确”地使用！以微积分为例，它作为一般高校最重要的一门基础课程，是进一步学习线性代数、概率论、复变函数等后续课程的基础，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强.对于刚刚进入大学的学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，此课程的学习尤为关键.该课程包含了一整套抽象而且形式化的严谨的理论体系，特别是许多重要的概念和定理都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述，学生在理解上、应用上有一定的难度，也常常会产生一些误解.鉴于此情况，在微积分教学中，教师可以考虑使用反例来修正学生对知识理解时出现的错误，同时也可使学生养成严格推理、全面分析的能力.