用一次函数观点认识一类归纳猜想规律探索题

疏忠良

【摘要】由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现未知的重要手段，非常有利于培养学生观察问题、分析问题、解决问题能力，尤其是创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.这类问题在中考中经常以选择、填空、解答题形式出现，解题策略是要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同特征之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的思维模式，又体现了总结归纳的数学思想.

【关键词】 一次函数；认识；归纳猜想规律

问题 为庆祝“六一”儿童节，某小学举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：

按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数 y为（ ）.

A.2+6n B.8+6n C.4+4n D.8n

解 分类归纳：

n=1时 y=8

n=2时 y=14=8+1×6

n=3时 y=20=8+2×6

n=4时 y=26=8+3×6

……

当 n 时 y=8+（n-1）×6

猜想：火柴棒根数 y=8+6（n-1）=6n+2，故选A.

反思：

问题1：本题中金鱼个数（n）和火柴棒根数（y）两个变量之间是否存在某种函数对应关系？ 如存在，是什么函数关系？

分析： 列表更能清楚地反映出金鱼个数（n）和火柴棒根数（y）的对应关系.

金鱼个数n[]1[]2[]3[]4[]…[]n

火柴棒根数y[]8[]8+1×6[]8+2×6[]8+3×6[]…[]8+（n-1）×6

由表知，根据函数概念，易知金鱼个数（n）和火柴棒根数（y）两个变量之间存在函数对应关系，而且是一次函数关系.

问题2： 能否用一次函数有关知识解决本题呢？

探究： 根据题意分析，金鱼个数（n）和火柴棒根数（y）两个变量之间存在一次函数对应关系.因此，可设 y=kn+b（k≠0），将n=1，y=8 和n=2，y=14 代入函数式得

k+b=8，

2k+b=14，解得 k=6，

b=2.

故y=6n+2.

问题3： 上面两种解法分别是归纳猜想法和用一次函数式待定系数法，解法思路完全不同，但结果相同.是巧合吗？还是有内在的必然联系呢？

探究： 请认真观察本题“金鱼”图形，不难发现，第一个图形火柴棒8根，第二个图形火柴棒比第一个图形火柴棒多6根，第三个图形火柴棒比第二个图形火柴棒又多6根，依次类推，第n个图形比第n-1个图形火柴棒多6根.此规律构成等差数列.而等差数列就是一种特殊的一次函数.原来如此，金鱼个数（n）和火柴棒根数（y）两个变量之间存在一次函数对应关系.故问题2的探究解法是正确的.

问题4： 是不是所有的归纳猜想问题都可以运用一次函数知识来解决呢？

探究：不是所有的归纳猜想型问题都可以运用一次函数知识来解决.如数字解密：第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是17=9+8，…，观察并猜想第六个数是（B）.

A.64 B.65 C.66 D.67

本例就不能运用一次函数知识来解决.

问题5： 符合什么条件的归纳猜想型问题才可以用一次函数知识解决呢？

探究：当归纳猜想型问题符合等差数列规律时，就可以用一次函数知识来解决.于是，可得下面定理.

定理：能构成等差数列的归纳猜想型问题就可以用一次函数式求通项证明，因为等差数列是特殊的一次函数，故可用一次函数求解.

说明：（1）对于初中生来讲，等差数列未学，但只要理解其实质：后一项比前一项大（小）相同的数，就符合等差数列规律.（2）高中学习等差数列通项是 An=A1+（n-1）d 就是归纳猜想型问题中的一般性规律，和一次函数式 y=kn+b求出规律是完全一致的.对于初中生，这里只介绍了一次函数式求法.

应用举例：将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：

（1）如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？

（2）如果剪n 次共有An个正方形，试用含n、An的等式表示这个规律；

（3）能否将正方形剪成2014个小正方形？为什么？

解 （1）100×3+1=301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个.

（2）解法1：归纳猜想得An=3n+1；解法2：观察表格发现正方形个数依次为 4，7，10，13，16，…每一项比前一项都大3，即公差为3，故正方形个数符合等差数列，因此可用一次函数式求解.

设An=kn+b（k≠0），将n=1，A1 =4 和 n=2，A2 =7 代入得

k+b=4，

2k+b=7，解得k=3， b=1.

所以，An=3n+1.

（3）若An=2014，则3n+1=2014，n=671，∴能将原正方形剪成2014个小正方形.