对一道应用题的反思

李菲菲　姜宁

【摘要】应用题教学改革是当前高中数学课程改革的重要内容之一.在新的课程理念下应该怎样进行应用题教学？这是每一位教师所面临的实际问题.在应用题的教学中，应该增强应用题教学内容的开放性，培养学生的应用意识.开放应用题的教学内容，就是要改变传统应用题教学内容脱离学生的生活实际，呈现方式单一，条件答案唯一的状况，让学生感受到应用题生动、有趣、有用，激发学生解决问题的愿望.

【关键词】应用题；反思

2014年南京市第二次模拟试题第17题：如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？

思路一：设∠AMN=θ，在△AMN中，MN[]sin60°=AM[]sin（120°-θ）.

思路二：（构造直角三角形）

设∠PMD=θ，在△PMD中，

∵PM=2，∴PD=2sinθ，MD=2cosθ.

在△AMN中，∠ANM=∠PMD=θ，∴MN[]sin60°=AM[]sinθ.

思路三：（利用余弦定理）设AM=x，AN=y，∠AMN=α.

在△AMN中，因为MN=2，∠MAN=60°，

所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.

思路四：（坐标法）以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系.

设M（x1，0），N（x2，3x2），P（x0，y0）.∵MN=2，

∴（x1-x2）2+3x22=4.

MN的中点Kx1+x2[]2，3[]2x2.

∵△MNP为正三角形，且MN=2，∴PK=3，PK⊥MN.

∴PK2=x0-x1+x2[]22+y0-3[]2x22=3.

思路五：（几何法）由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动.

由于∠MAN=60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上，设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知：AP的最大值为PF+R.

思路六：（变换法）以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系.

设M（x1，0），N（x2，3x2），P（x0，y0）.∵MN=2，∴（x1-x2）2+3x22=4.

即x21+4x22=4+2x1x2.

∴4+2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2.

∵△MNP为正三角形，且MN=2，∴PK=3，PK⊥MN.

MN顺时针方向旋转60°后得到MP.

新情景试题列举：

如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2，1）时，OP的坐标为.

解析 设A（2，0），B（2，1），由题意知劣弧PA的长为2，∠ABP=2[]1=2.

设P（x，y），则x=2-1×cos2-π[]2=2-sin 2，

y=1+1×sin2-π[]2=1-cos 2，

∴OP的坐标为（2-sin 2，1-cos 2）.

综合以上两道题的分析，以后的教学中在大力提倡解题策略多样化的同时，还要让学生明确肯定思维优化的必要性，也就是说，我们不应片面地满足于对于不同方法在数量上的追求，而应通过多种方法的比较帮助学生学会鉴别什么是较好的方法，包括如何依据不同的情况灵活地去应用各种不同的方法.鼓励发展学生的个性思维，但盲目追求更多的解法也是不可取的.“多样化”与“优化”是密不可分的两个整体，它们相辅相成，教学过程中，应适时地将两者有机地结合.