发现之旅：由正三角形“衍生”出正三角形再探

◎杨 川

(四川新津县邓双学校，四川 新津 611437)

发现之旅：由正三角形“衍生”出正三角形再探

◎杨 川

(四川新津县邓双学校，四川 新津 611437)

在文[1]中探究了由正三角形“衍生”出正三角形的一些情况，现对原正三角形与“衍生”出的正三角形边长、面积之间的联系进行探究.

正三角形；边长；面积

一、命题探究

探究命题1 已知，如图1，点M，N，P分别在正三角形ABC(边长为a)的BC，CA，AB的延长线上，且BM=CN=AP=b(b>a)，连接NP，PM，MN.

图1

图2

证明① 在文[1]中已证△MNP为正三角形.

∵AB=a，BM=AP=b，∠ABC=60°，

∴BP=b-a，∠PBM=120°，

探究命题2 已知，如图2，点M，N，P分别在正三角形ABC(边长为a)的BC，CA，AB的边上，且BM=CN=AP=b(b

证明① 在文[1]中已证△MNP为正三角形.

∵BC=a，BM=CN=b，∠C=60°，∴CM=a-b，

特别的，当点M，N，P为中点时，即b=0.5a，△MNP的面积为△ABC面积的0.25倍.

图3-1

证明① 在文[1]中已证∠BQM=60°，△EFQ为正三角形.

∵在△QBM和△CBN中，∠BQM=∠BCN，∠QBM=∠CBN，∴△QBM∽△CBN，

易证△BMQ≌△CNE(ASA)，∴BM=CN，QM=EN，

(1)

∴BN2=a2+b2-2a·bcos60°=a2+b2-ab>0,

(2)

特别的当b=0时，也满足上述式子，此时△EFQ即为△ABC.

图3-2

∵EQ=BN-NQ-BE.

特别的当b=a时，也满足上述式子，此时△EFQ即为△ABC.

探究命题4 已知，如图4，点M,N,P分别在正三角形ABC(边长为a)的BC,CA,AB的延长线上，且BM=CN=AP=b(b>a)，AM,BN交于点Q，BN,CP交于点E，CP,AM交于点F.

图4

证明① 在文[1]中已证△EFQ为正三角形.由题意可得：BC=a(a>0)，BM=AP=b(b>a)，∠BCN=60°，∴∠PBC=120°，

∴在△CBP中，CP2=BC2+BP2-2BC·BP·cos∠PBC(余弦定理)，

∴CP2=a2+(b-a)2-2a·(b-a)cos120°=a2+b2-ab>0，

易证△BPE≌△CMF(AAS)，∴BP=CM=b-a，EP=FM，易证△BCP∽△FCM，

(3)

(4)

二、结束语

一题多变，抛砖引玉，希望能开阔学生的视野，找到解题的灵感，使类似的问题迎刃而解.有纰漏之处，敬请读者指正.

[1]杨川.发现之旅：由正三角形“衍生”出正三角形[J].考试与评价，2016(8).

[2]程峰.探究与分点有关的两个三角形面积的比值[J].初中数学教与学，2011(23).