第三代微积分的研究

◎李子研

(西北工业大学附属中学，陕西 西安 710072)

第三代微积分的研究

◎李子研

(西北工业大学附属中学，陕西 西安 710072)

第三代微积分是以初等数学为基础，通过对导数与积分的定义研究，所发展起来的一代微积分.与前两代微积分相比第三代微积分所提供的理论通俗易懂，可以大大降低学习难度，提升微积分学习效果.由此，本文以第三代微积分为研究对象，在简要分析微积分发展历程之后，对甲、乙函数及其与导数之间的关系进行重点探究.

第三代微积分；导数；初等数学；甲乙函数

在数学研究如火如荼的今天，微积分作为数学中的一个重要组成部分，其研究也得到了快速的发展，研究视角越来越新颖独特，研究内容越来越深入广泛，研究方法越来越多样丰富.其中，尤以第三代微积分研究最为繁荣.研究第三代微积分，对推动数学学习方法的发展具有重要理论指导意义.

一、微积分发展历程探微

自微积分创建至今，共经历了三个发展阶段.第一阶段为初创期，由牛顿和莱布尼兹共同创建出微积分学，这一阶段微积分刚刚建立，在各个方面均尚未成形，不管是理论、方法还是内容都极为欠缺，是创建者自身和使用者都说不清楚的微积分.虽然不成体系，所有的一切都说不清楚，但微积分却就在这样迷迷糊糊的状态下，逐渐发展起来了，并随着使用者的不断增多，随着微积分的进一步发展而变得越来越蓬勃兴旺[1].

微积分发展进入第二阶段的重要标志是柯西和维尔斯特拉斯极限理论的建立.这一阶段，严谨的极限定理成为微积分的重要理论支撑，成为微积分基础得到进一步巩固的重要代表.此时，微积分已由第一代的说不清变得能够说清了，但过于复杂烦琐的推理推导过程和繁多的定理概念，却使得微积分给人们留下了复杂难懂的深刻印象，绝大多数学生对于数学微积分部分的学习都表现得非常吃力，既学不明白，理解不了，更不会运用.

第三代微积分是以初等数学为基础，在相关专家学者们对导数与积分进行大量研究基础上所建立起来的.通过对导数与积分的研究，学者们提出了甲函数与乙函数的概念，并对函数与导数之间的关系进行了研究和分析[2].这一时期人们对微积分研究的重心开始从理论框架向通俗易懂、简洁明了方向转移，即人们开始注重微积分知识理论的简化，以便于学习者理解和掌握，确保学生在学习微积分过程中能够真正学得懂.基于上述需求，微积分初等化成为第三代微积分的重要表现形式和研究方式，第三代微积分研究至今取得了一系列研究成果.

二、第三代微积分

(一)导数

|D(|h|)(F(x+h)-F(x)-f(x)h)|≤N|h|,

则可称函数F(x)在该区间上一致可导，其导数为f(x).将一致不等式下的导数定义进行一定的改变，即可得到强可导导数的定义.导数定义所发生的这一系列改变，在很大程度上归功于第三代微积分的建立和发展.正因为第三代微积分以初等数学为基础，是在导数研究基础上所建立起来的，因此第三代微积分的发展带动了导数定义的改革，因而从某种意义上我们可以说导数定义改革是第三代微积分发展的一个必然结果，是第三代微积分研究的一个重要成果.

(二)甲函数、乙函数及与导数间的关系

甲函数和乙函数是导数与积分研究中提出的一个重要概念，与第三代微积分有着密不可分的联系，与导数有着紧密的联系.甲函数与乙函数定义如下：设在区间T上，函数F(x)和f(x)都有定义，若该区间内的任意子区间[m,n]及其上的任意两点p,q，总有如下不等式成立：

则可称函数F(x)是f(x)在区间T上的甲函数，而函数f(x)则是F(x)在区间T上的乙函数[3].结合乙函数的定义，通过一些例题分析发现，乙函数与微积分中的导数其实是同一种事物，即乙函数就是微积分中的导数，并且这一结论得到了充分的证明.在该结论的影响下，随着研究的持续不断进行，人们开始思考不用极限理论来推导微积分基本定理，并将其付诸实践，进一步推动了第三代微积分的发展.

三、总 结

第三代微积分可以说是对微积分发展至一个新的高度的充分体现，它不仅化繁为简，提出了微积分的初等化，为微积分学习难度的降低带来了生机，而且从全新的角度对微积分进行研究，以初等数学为基础，进一步提升了微积分理论的严谨性.因此，加强对第三代微积分的研究具有重要价值和作用.

[1]张奠宙.努力掌握微积分思想的精髓——“初等数学里的微积分”读后感[J].数学教学,2010(02)：8.

[2]赵艳敏.影视辅助微积分教学的研究与实践[J].数学学习与研究,2015(19)：10-11.

[3]肖露.高中微积分概念教学研究[D].长沙：湖南师范大学,2015.