几种运动轨迹的数学表达式——基于物体所受合外力与其初速度夹角的分析

◎郭子坤 郭柏寿

(1.西北农林科技大学附属中学，陕西 杨凌 712100；2.西北农林科技大学，陕西 杨凌 712100)

几种运动轨迹的数学表达式
——基于物体所受合外力与其初速度夹角的分析

◎郭子坤1郭柏寿2

(1.西北农林科技大学附属中学，陕西 杨凌 712100；2.西北农林科技大学，陕西 杨凌 712100)

采用数学分析的方法，求解上述5种运动轨迹的数学表达式，证明其轨迹的几何形态，仅做借鉴，以增强高中阶段学生对物理问题进行数学推导和演绎的意识.

一、合外力F和初速度v0夹角θ=0

显然，上面方程组定义的运动轨迹为与x轴重合的直线，为匀加速直线运动，当F=0时为匀速直线运动，此为匀加速直线运动的特殊情况.

图1 v0与F夹角θ=0

二、合外力F和初速度v0夹角θ=π

当F和v0矢量夹角θ=π时，它们位于同一条直线上且方向相反，以其所在的直线作为x轴，起点为原点O，建立平面直角坐标系(见图2).v0在x轴上的分量为vx=v0cosθ=v0cosπ=-v0，v0在y轴的分量为vy=v0sinθ=v0sinπ=0.根据牛顿第一和第二定律可知，该物体t时于x轴和y轴上的位移由下面的联立方程决定：

上述方程组定义的运动轨迹显然为与x轴重合的直线，该物体先做初速度为v0的匀减速直线运动，当速度减至0时，将沿合外力F方向做初速度为0的匀加速直线运动.

图2 v0与F夹角为θ=π

三、合外力F和初速度v0夹角

以物体运动起点为原点O，v0所在的直线为x轴(规定沿v0方向为x轴正方向)，合外力F所在的直线为y轴(规定沿F方向为y轴的正方向)，见图3.

由图3可知，物体在x轴方向所受的力为0，根据牛顿第一运动定律，在x轴方向没有力来改变该方向的运动状态，所以物体在x轴的分运动为初速度等于v0的匀速直线运动，时刻t时，在x轴方向的位移为：x=v0t.

①

②

图3 v0与F夹角为

③

四、合外力F和初速度v0夹角

图4 F与v0夹角

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五、合外力F和初速度v0夹角<θ<π

同样，以物体运动起点为原点O，F所在直线为y轴，F方向为y轴正方向；以垂直于y轴的直线为x轴，将x与v0呈锐角的方向定为x轴正方向，如图5所示.

图5 F与v0夹角

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