基本不等式求最值中“定值”的必要性

◎周国明

(唐山一中，河北 唐山 063000)

基本不等式求最值中“定值”的必要性

◎周国明

(唐山一中，河北 唐山 063000)

在高中数学必修五中，关于基本不等式的应用，我们常说“和定等积大，积定等和小”，也就是：两个正数，若“和”为定值，则在它们相等的时候“积”取得最大值；若“积”为定值，则在它们相等的时候“和”取得最小值.

基本不等式；求最值；求最值中“定值”

很多同学对“定值”的理解是不够深刻的，他们会有疑问：“积”如果不是定值，而是有范围的，为什么求“和”的最小值时就不能用基本不等式？针对这个问题，我在本文中通过两道例题，做深入透彻的说明.

(1)求xy最小值.

(2)求x+y最小值.

①

②

这个方法对吗？

由题干，显然x+y可以统一为只有一个变量x的函数，记为f(x)；

为了理解更为深刻，我们再看例2.

例2 若a>0,b>0，满足ab=a+b+3.

(1)求ab范围.

(2)求a+b范围.

t2-2t-3≥0，即t≥3，故ab≥9，

③

④

结果是一样的.为什么呢？④式中，两个等号同时成立，需要③即可.

通过以上两题，希望能帮助大家理解“和定等积大，积定等和小”.基本不等式求最值，一定要注意“定值”的意义，一般情况下，关于两个正数的“和”与“积”，我们要已知其中一个是定值，才能求另一个的范围.