回归教材分析，探究中点四边形的面积计算

◎林文权

(福建省晋江市南湾中学，福建 晋江 362256)

回归教材分析，探究中点四边形的面积计算

◎林文权

(福建省晋江市南湾中学，福建 晋江 362256)

“中点四边形”是在掌握了三角形的中位线定理后，结合平行四边形的判定所进行探索延伸，通过探索，可知“中点四边形”必为平行四边形.当原四边形的对角线相等或垂直时，该“中点四边形”会形成特殊的平行四边形(矩形、菱形或正方形)，从中我们知道原四边形对角线的特殊关系决定“中点四边形”的特殊性.在探索过程中也发现由原四边形各边中点所构成的新四边形的面积与原四边形存在着特殊的数量关系，下面我将运用实例就此类图形所蕴含的面积关系加以探讨及拓展延伸.

一、借助“三角形中位线”，求“中点四边形”的面积

图1

【案例】已知：如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且S四边形ABCD=10.求：S四边形EFGH.

【解法】∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点,

根据中位线定理，很容易得到：

∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH

【评析】以上仅仅提供一种利用三角形中位线，即相似三角形的性质结合图形的面积和差关系，来求“中点四边形”面积的方法.这种方法比较直接，又能充分结合数学的化归思想，把求四边形的面积转化为求三角形的面积，把“中点四边形”的问题转化为“三角形中位线”的问题，充分调动和运用已有的知识、经验和方法应用于问题的解决.得到结论：“中点四边形”的面积等于原四边形面积的一半.

二、借助“中点四边形”面积，求对角线互相垂直的原四边形的面积

图2

【案例】已知：如图2，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O，且AC=6，BD=8.

求：S四边形ABCD.

【解法一】

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

【解法二】

易得,S矩形EFGH=EF·FG=3×4=12,

所以S四边形ABCD=2S矩形EFGH=24.

【评析】本题比较简单，解法一学生比较容易想到，也是比较正常的方法；解法二，对角线互相垂直的“中点四边形”是矩形，求矩形面积学生很熟悉，再借助“中点四边形”的面积等于与原四边形面积的一半，就可以巧妙求出原四边形的面积.得到结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线积的一半.

三、借助“中点四边形”面积，求四边形对边中点连线分割的图形的面积

图3

【案例】已知：如图3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH相交与点O，其中S1，S2，S3，S4分别表示四个小四边形的面积，且S四边形ABCD=20.求：S1+S3.

【解法】∵△AEF∽△ADB，△BFG∽△BAC，△CGH∽△CDB，△DHE∽△DCA,

且EF，FG，GH，HE分别是△ADB，△BAC，△CDB，△DCA的中位线,

∴S△AEF+S△CGH=S△BFG+S△DHE.

综上所述：

∵S△EFO=S△FGO=S△GHO=S△HEO,

S△AEF+S△CGH=S△BFG+S△DHE,

∴(S△AEF+S△EFO)+(S△CGH+S△GHO)=(S△BFG+S△FGO)+(S△DHE+S△HEO),

【评析】根据解题惯性思维，学生很容易想到：依次连接四边形各边中点所成的图形(中点四边形)是平行四边形.通过依次连接E，F，G，H，将每个小四边形又分割为两个小三角形，从中发现三角形与要找面积存在的联系.可以得到结论：四边形对边中点连线所分割的四个小四边形，不相邻的两个小四边形的面积之和相等.

四边形的中点作为特殊位置上的点，无论是由此引发的“中点四边形”的面积或是其他与中点有关的图形的面积，必有其特殊性，要注意联系三角形的中位线定理，相似三角形的性质，面积分割的和差关系、同底等高等积关系，善于整合相关知识，起到举一反三的效果.

2016年度福建省教育科学“十三五”规划立项课题“基于教材分析的初中数学校际教研的实践研究”立项批准号：FJJKXB16-023.