利用定积分定义求无穷项和式的极限

冯佳宾

【摘要】无穷项和式的极限计算是高等数学中的一个重点也是一个难点，本文将介绍如何利用定积分的定义来求解无穷项和式的极限.

【关键词】定积分；无穷项和；极限

【中图分类号】O13 【文献标识码】A

在高等数学中定积分的定义为：∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi，其中xi-1≤ξi≤xi，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}.几何意义即用窄条矩形的面积代替曲边梯形的面积再求和取极限，也就相当于无穷多个无穷小的和相加.如果所求极限可以写成limn→∞b-an∑nk=1f[a+（k-1）b-an]或者limn→∞b-an∑nk=1f[a+k·b-an]便可利用定积分的定义来求解这样一类无穷项和式极限，很多文献对此都有比较详细的介绍.然而有一些题目，仅仅通过简单变形还不够，还需要适当的极限运算定理以及对定积分定义更灵活地应用才能应用这两个公式求解，本文下面将主要介绍三个方法，并结合实例进行说明.

1.放缩法结合夹逼定理

放缩是为了得到原问题中无法通过直接变形得到的因子：in，因此放缩时应该朝这个方向去思考如何进行适当放缩，所谓适当即被放缩部分在放缩前后应是等价量，在这一个大原则下去放缩，便不会放得太大或者太小，再通过具体的分析，便能找到合适的放缩量.

2.选取合适的区间进行合适的等分

很多时候积分都是在区间[0，1]进行的，但是当每项变化的部分不再是从1到n连续地变化了，那便需要考虑要在其他的区间上进行合适的等分，再使每个小区间趋于零，下面通过两个实例进行说明.

此题在[0，2]上积分，并将区间分成n等份，得到n个小区间[0，2n]，[2n，4n]，…，2n-2n，2nn，依次取每个区间的中点处的值1n，3n，…，2n-2n，2nn作为定积分定义中的ξi.

可以看到例2每项变化的部分是以1，3，5…的方式变化的，例3是以1，4，9…的方式变化的，但均不再从1到n连续变化.

3.适当运用极限运算法则

无穷项和式极限也是极限的一种，那自然也可以运用极限运算法则中等价无穷小等原理进行计算.