三角函数“求值问题”的解法

肖刚　钟红丽

【摘要】数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科，通俗地说是研究“数”和“形”的学科.三角函数是初等数学的一个分支，是研究任意角的集合与一个比值的集合变量之间对应关系的一门科学.而三角函数中的求值问题是中学数学教学中的一个重要课题，是高考数学运算能力考查的重要体现.下面通过例题来探究三角函数求值问题的解题方法.

【关键词】三角函数；求值；求解

已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题，可以分成三种情况.

一、一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上都是已知的，此类情况只有一组解.

分析 题中给出了1tanα的具体数值，并且给出了α所在的区间，求角α的其他三角函数值，只有一组解.

二、一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况求解.

例2 已知cos360°+α=-35，求α的正弦值和正切值.

分析 先确定α所在的象限，再根据同角三角函数的基本关系式来解sinα和tanα.

注意 求解“三角函数最值问题”应注意以下几点：1.确定角α所在的象限，以便确定三角函数值的符号.2.尽可能地回避三角函数的平方关系，以免增加增根，以减少不必要的讨论.

三、一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，或用一个角的某一个三角函数来表示这个角的其他三角函数，此类情况有两组或四组解.

分析 sinα=mm≤1，未给出具体数值，解法一般为：“先平方，后倒商.”即先根据同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1解出sinα，再分象限讨论sinα结果的正负情况，接下来用倒数关系及商数关系，符号问题就解决了.

【参考文献】

[1]宋来彬.三角函数求值的几种方法[J].2005（6）：97-98.

[2]陈华安.三角函数求值问题的解题思维策略分析[J].2009（12）：4-6.