漫谈《高等数学》中的指数函数ex

段展鹏

【摘要】对以e为底的指数函数，指出了其奇偶分解、及其与一元定积分、概率积分、第二类换元积分、级数展开及欧拉公式等内容的联系及应用雏形，有助于进一步认识该函数的重要性.

【关键词】以e为底的指数函数；定积分；第二类换元积分法；级数展开

一、引 言

数e在1727年由Euler引进用以表记极限值limn→∞1+1nn，后被证明e是超越数.以e为底的指数函数y=ex是《高等数学》中常见的函数，也是连续复利等模型的雏形.但是，浏览多部教材后发现，教材对该函数并未有专门的分析和深入研究.本文就该函数在高等数学中与不同部分内容的联系和作用做一简单的串联，并对其亮点作简单分析，是为“漫谈”.

二、《高等数学》中的函数ex

（一）由y=ex的奇偶分解可得shx，chx

ex虽然不具有奇偶性，但ex=12（ex+e-x）+12（ex-e-x）很明确告诉我们：它可以分解为奇偶两部分.这个思路在信号处理中可以理解为信号的奇偶分离；因此，12（ex+e-x），12（ex-e-x）是值得注意的两个函数，实际上它们就是：chx=12（ex+e-x），shx=12（ex-e-x），而且悬链线方程可由chx表示.

亮点：从分解的角度引出chx，shx，并解释为信号的奇偶分离，和实际问题相联系.

（二）shx，chx及其反函数的导数

y=12（ex+e-x）的反函数：y=ln（x+x2-1），（x≥1）

y=12（ex-e-x）的反函数：y=ln（x+x2+1），（x∈R）

显然：（shx）′=chx，（chx）′=shx；y=ln（x+x2-1），（x>1）的导数为1x2-1，而y=ln（x+x2+1），（x∈R）导数为1x2+1.

亮点：其反函数的导数是积分中常见的根式.

（三）ex与不定积分的第二类换元法

第二类换元积分中带有根式的积分是一个难点，基本的积分有如下几种：∫u2+1du，∫u2-1du，∫1u2+1du及∫1u2-1du.这些积分都可以利用ex或者shx，chx进行换元，如下：

例1 求∫u2+1du.

解 在∫u2+1du中，设u=12（ex-e-x），则有：

u2+1=12（ex+e-x），du=12（ex+e-x），

∫u2+1du=∫（12（ex+e-x））2dx=18e2x+18e-2x+x2+C=12ex+e-x2ex-e-x2+x2+C=u2u2+1+12ln（u+u2+1）+C.

（四）ex与一元定积分

在一元定积分中，不难知道：∫+∞0tndt（n∈N）是发散的，而∫+∞0e-ttndt（n∈N）是收敛的，因此，得出：∫+∞0pn（t）dt是发散的，而∫+∞0e-t·pn（t）dt是收敛的，其中：pn（t）是t的多项式.

这个现象有直接的现实意义：假设在工程中获得某些信号的测量数据的时间（t）序列值，如果将这些观测数据用多项式拟合，在计算信号能量时就会遇到积分∫+∞0pn（t）dt发散的问题；为解决该问题，引进一个控制因子e-t，改用pn（t）e-t来拟合，则既可以保持拟合函数比较好的性质，又不会出现积分发散的情况.若控制因子e-t太强大，为此将其弱化为e-λ·t（λ>0）.而∫+∞1pn（t）e-λtdt（λ>0）是收敛的.实际上，此类积分还可以改进到x的指数出现某些负数的情形：Γ（s）=∫+∞0xs-1e-xdx（s>0）也是收敛的，此即是著名的Γ函数.

亮点：串起了广义积分中两个常见积分，突出了e-x的控制作用，赋予了应用的背景.使学生知晓为何介绍这两个积分、有什么实际意义.

（五）ex与广义二重积分

不难知道：x2+y2≤R2x，y≥0e-x2-y2dxdy=∫π20dθ∫R0re-r2dr=π4（1-e-R2）及x2+y2≤R2x，y≥0e-x2-y2dxdy≤0≤x，y≤Re-x2-y2dxdy≤x2+y2≤2R2x，y≥0e-x2-y2dxdy，而0≤x，y≤Re-x2-y2dxdy=（∫R0e-x2dx）2，因此，令R→+∞就可以得到：∫+∞0e-x2dx=π2，从而易知：1π∫+∞-∞e-x2dx=1，此为概率积分，其重要性是非常显然的.

亮点：和重要的概率积分相联系，同时展示了一元广义积分计算的另一思路.

（六）从证明ex>1+x，（x>0）开始延伸

例2 证明ex>1+x，（x>0）.

证明：记f（x）=ex-（1+x），（x≥0），则该函数在[0，+∞）上连续、在（0，+∞）内可导，且f′（x）=ex-1，（x>0），因此f′（x）>0，（x>0），从而该函数在（0，+∞）上单调增加，从而，当x>0时，f（x）>f（0）=0，得到：f（x）=ex-（1+x）>0，（x>0），故：ex>1+x，（x>0）.

这个例题很平淡，高中学生是可以利用导数和单调的知识来证明的.

现在，请考虑：ex>1+x+12x2，（x>0）的证明.

方法如前，只需构造辅助函数f（x）=ex-（1+x+12x2），（x≥0）.并利用ex>1+x，（x>0）来说明这个时候的辅助函数ex-（1+x+12x2），（x>0）的导数为正.

现在请学生根据刚才的推导过程，猜想、提出下一个类似的不等式：

ex>1+x+12x2+13！x3，（x>0），如此，一直下去，得到：

ex>1+x+12x2+…1n！xn，（x>0），取極限可得：ex≥1+x+12x2+…1n！xn+…，（x>0）.所以出现这样的巧妙结果，是因为其背后的事实是：ex=1+x+12x2+…1n！xn+…，（x∈R）.

亮点：展示了思维发散和探索的过程，对学生是较好的示范.

（七）从ex的幂级数展开到Euler公式

从级数理论部分不难得知：ex=1+x+12x2+…1n！xn+…，（x∈R），

sinx=x-13！x3+15！x5-17！x7+…，（x∈R），cosx=1-12！x2+14！x4-16！x6+…，（x∈R），实际上，上述结论可以推广到：ez=1+z+12z2+…1n！zn+…，（z∈C），因

∑+∞n=0znn！绝对收敛，因此：

eix=1+（ix）+12！（ix）2+13！（ix）3+14！（ix）4+15！（ix）5+…+1n！（ix）n+…=1+ix-12！x2-i13！x3+14！x4+i15！x5+…+1n！（ix）n+…=cosx+isinx，（x∈R）.

由此得到著名的Euler公式：ei·x=cosx+isinx，（x∈R），进而由此得到象征数学和谐美的等式：ei·π+1=0.其中1是正整数，也是实数的基本单位，i是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，它们都具有独特的地位，最具有代表性，可以说，i来源于代数，π来源于几何，e来源于分析，它们居然如此和谐地统一在一个式子中[3].

亮点：将ex，sinx，cosx乃至0，1，π联系在一起.

三、结束语

对以e为底的指数函数，指出了其奇偶分解可得到双曲正弦、双曲余弦，介绍了它在一元定积分、概率积分和第二类换元积分中的作用，其级数展开与欧拉公式的联系.通过这些串联重组，更加明晰地揭示了函数y=ex的重要地位.