珠串成线：单元复习课的教学取向——以“线段和角”的复习课为例

珠串成线：单元复习课的教学取向
——以“线段和角”的复习课为例

☉江苏省苏州市高新区实验初级中学 朱秋芳

最近一次七年级期末复习研讨活动中，笔者开设了一节“线段和角”的复习课，得到参与研讨的同行的好评.下面呈现该课的前后两次设计，并给出各个教学活动的设计意图，提供研讨.

一、“线段和角”的两种教学设计

第一种教学设计如下所示.

活动1：一颗“种子”.

如图1：

图1

请你用几何语言描述这幅图.

设计意图：复习点与直线的位置关系，为下面的问题作准备.

活动2：种子在“孕育”.

（1）如图2，在直线l上再取一点B，图中有几条线段？再取一点C呢？

图2

（2）再取两点D、E，共有几条线段？你是怎么算的？哪几条？

设计意图：复习线段的计数方法，增强识图能力，体现有序的思维方式，为问题的进一步展开作铺垫.

活动3：发出“第一枝芽”.

若在直线l上有n个点，共有多少条线段？

设计意图：发现并表示规律（有可能体现数形结合），揭示公式的意义.

图3

活动4：发出“第二枝芽”.

（1）如图4，C点为线段AE上任意一点，若AC＝8，CE＝6，B、D分别为AC、CE的中点，则BD＝____________.

图4

若只把条件AC＝8、CE＝6去掉，改成AE＝14，其他条件不变，你能求BD吗？

设计意图：复习线段的中点、线段的和差关系，通过弱化条件，体现整体思想.

（2）如图5，若B、C、D三个点是线段AE的四等分点，图中所有线段的和为26，你能求AE吗？

图5

设计意图：巩固前面的识图结果，在线段中点的基础上深入认识四等分点，进一步复习线段的和差倍分；初步渗透方程思想在图形中运算的作用.

（3）如图6，若AE＝8.9，BD＝3，你能求图中所有线段的长度之和吗？试试看！

图6

设计意图：与前面问题相比，条件进一步弱化，体现整体思想，增强识图能力.

活动5：种子的茁壮成长要你们来“浇灌”.

我们知道线段与角之间有许多相通之处，请结合你所学的有关角的知识，联系线段，对两者进行类比，试试你的创造力！

已知：如图7，∠AOE是小于平角的角，射线OB、OC、OD是∠AOE内部的射线.

图7

（1）你们可以提出什么问题？试着将其解决.

（2）允许你们可以增加1—2个条件，两位同学为一小组，讨论你们还能提出什么问题，并解决它.

设计意图：在前面对线段复习的基础之上，通过这个环节，发展学生提出问题、解决问题的能力，体现类比思想.

活动6：小结与布置作业.（略）

【打磨意见】可以发现，上面的课例也是精心预设、备课组打磨而成，在经典题型、基本图形及性质上引导学生识别和积累，对于应付常规考试是积极的，然而从深刻“理解数学”（章建跃语）的角度看，初中几何的学习与小学有很大差别，张奠宙教授说小学数学是实用主义、消费数学，而初中几何才是真正意义上的数学、精神需要.所以需要调整复习课的教学取向，深入思考入门阶段的几何学习的重点是很关键的.初一几何初步的重点何在呢？具体到线段、角的学习，主要是线段或角的表示方法.在第一个教学环节中，有线段图形语言、符号语言、基本作图等的引入等，然而重点却放在计数线段上，这并不是教材上的重点内容，只是属于解题策略一类的话题，小学阶段学生就已熟悉这种策略，只不过披上了初中几何的外衣继续研究这种策略.基于上述认识，我们觉得解题策略的教学不能占去整节课的一半，可以作为一种难点进行突破，主要精力还是应该先关注教材上对该内容的训练重点.于是打磨生成第二种教学设计.

第二种教学设计如下所示.

活动1：请你当“医生”.

对于下列问题：若有解答过程，请诊断是否有“病”，有“病”请说出“病因”并改正；若没有解答过程，请给予解答，并说出可能会“诱发”什么病.

（1）在直线l上有A、B、C三点，AB＝5，BC＝3，求AC.

解：如图8所示.

图8

由AC＝8，BC＝3，得AC＝AB＋BC＝8.

诊断结果：______；病因：______；正确答案：______.

（2）选择题：已知AC＝8，BC＝3，则AC的长为（）.

A.8B.3C.8或3D.无法确定

答案：C

诊断结果：______；病因：______；正确答案：______.

（3）如图9，线段AB＝5，BC＝3，CD＝2，求图中所有线段的长度之和.

图9

解：图中所有线段的长度之和＝AB＋BC＋CD＝5＋3＋2＝10.

诊断结果：______；病因：______；正确答案：______.

（4）已知在平面内，∠AOB＝35°，∠BOC＝20°，则∠AOC＝________.

说说当“医生”的收获.

设计意图：以学生平时作业中出现的错误为资源，在自查自纠的过程中，唤醒知识点、唤醒建构知识网络的意识，体现分类讨论、类比思想，为进一步自主建构知识网络提供“技术”上的帮助.

活动2：作线段的“蓝图”.

边作图边思考.

（1）如图10，已知线段a，点A在直线l上，在直线l上顺次截取AB＝BC＝a.此时图中有几条线段？点B有何特点？

图10

设计意图：复习尺规作图和线段的中点.

（2）再在直线l上顺次截取线段CD＝DE＝b（b＜a），此时在直线l上共有几条线段？哪几条？

设计意图：复习尺规作图，增强识图、作图能力，强化前面“诊断”过程中的分类讨论思想，养成有序的思维方式，养成积累基本图形的意识，为问题的进一步展开作铺垫.

活动3：在“蓝图”上加工.

在图11中，若AC＝8，CE＝6，则BD＝________.

在图11中，若AE＝14，其他条件不变，你能求BD吗？你能发现BD与AE的数量关系吗？能简述理由吗？

设计意图：进一步复习线段和差关系，形成积累基本图形的意识；通过弱化条件，体现整体思想；在研究线段和差关系、倍分关系时，要关注便于转化的线段，增强识图能力.

活动4：挑战自己.

（1）如图12，C、D是线段AB上两点，CD＝2，M、N分别是AC、BD的中点，MN＝7，则AB＝______.

图12

（2）如图13，在直线l上顺次截取AB＝BC＝CD＝DE.

图13

问题一：请说出图中哪个点是哪条线段的中点.

问题二：B、C、D三点是线段AE的四等分点，图中所有线段的和为26，你能求AE吗？

设计意图：巩固前面的识图结果，在线段中点的基础上深入认识四等分点，进一步复习线段的和差倍分；初步渗透方程思想在图形中运算的作用.

活动5：“打通”知识通道，自我构建角的知识“框架”.

（1）你还记得多少关于角的知识点？利用线段与角之间有许多相通之处，发挥自己的潜能，自我构建有关“角”的知识框架！试试看！

设计意图：通过类比，自我构建角的知识框架，发展学生的自我创造力.

（2）如图14，射线OC是平角AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，结合角的相关知识，你能提出什么问题？能解决它们吗？

图14

图15

设计意图：在前面对线段复习的基础之上，通过这个环节，发展学生提出问题、解决问题的能力，体现类比思想，并借此复习互余、互补等相关角的概念.

（3）变化一下.

如图15，若ON是平角WOE的平分线，OA是∠BOC内任意一条射线，且OA⊥OB于O点，你能说出图中互余的角、互补的角、相等的角有哪些吗？若反向延长射线ON到OS，∠AOE＝25°24′，设ON为正北方向，OE为正东方向，你能说出射线OA、OB的方向吗？

二、关于教学立意的整体思考

《中学数学》最近有多篇文章探讨单元复习课的教学，特别是对复习课选题（例、习题）的精选都放在重要位置上.这自然是关键的.然而，对单元复习来说，思考整节复习的教学立意也许应该成为更为上位的考虑.具体来说，可从以下两个方面来构思教学立意.

1.教学的整体立意需要建立在对单元知识的深刻理解上

由于单元复习是针对前一阶段所授新知开展的复习工作，备课时教者首先要站在一个阶段的高点，反观前面所学知识的关联性、重点与难点，学生在新的学习过程中出现了哪些困难等.在此基础上，对复习课的相关素材就能基于这种深刻理解大胆取舍，而不是面面俱到，或者将复习课上成习题课、某种热点题型的训练课等.

2.教学的整体立意需要促进学生将零散知识串珠成线

引导学生“将学过的知识串珠成线，像葡萄一样能拎起来”，这应该成为单元复习课的一种教学取向.数学知识具有关联性、逻辑严谨性、前后一致性，很多数学内容或解题都是“一步一步向上走”（米山国藏语）.基于上述观点，将零散知识串珠成线，让学生加深印象，追求对数学知识的深刻理解就成为我们在第二种教学设计中的自觉追求.

1.熊俊.导学案不能沦落为“习题单”——以“中位数和众数”的导学案为例［J］.中学数学（下），2014（6）.

2.章建跃.从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学［J］.中国数学教育，2013（7-8）.

3.严莉.对一份“习题单”式导学案的商榷——以“有理数乘法（第1课时）”为例［J］.中学数学（下），2014（11）.Z