以函数f（x）=lnxx为背景的高考题赏析

张立建

1试题

例1（2013年江苏卷20）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

例2（2014年湖北卷22）π为圆周率，e=2.71828……为自然对数的底数.

（1）求函数f（x）=lnxx的单调区间；

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

例3（2013年北京卷18）设l为曲线C：y=lnxx在点（1，0）处的切线.

（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.

以上3道试题都是考查函数的性质和图象，或以此为背景综合考查分析问题、解决问题的能力.

2函数f（x）=lnxx的性质和图象

函数f（x）=lnxx在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数.f（x）max=f（e）=e-1，无最小值，有唯一零点x=1.

图1证明f（x）=lnxx定义域（0，+∞），则f′（x）=1-lnxx2，解f′（x）>0得0e，所以f（x）在（e，+∞）上是减函数.又f（x）max=f（e）=e-1，f（1）=0，且当x∈（e，+∞）时，恒有f（x）=lnxx>0，由此可得函数f（x）的图象如图1所示.

3问题的解决

例1分析函数零点问题是高考热点问题，分离参数法是常用解法之一，将函数f（x）=lnx-ax的零点个数问题转化为两函数y=a与y=lnxx的图象交点个数问题，考查函数y=lnxx的图象，数形结合法求解，但做函数f（x）=lnxx的图象时要特别注意函数在（e，+∞）上时有渐近线（x轴）.

解析（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤（ex）min，故a≤1e.函数f（x）的零点是方程a=lnxx（x>0）的根，也是函数y=a与函数y=lnxx图象交点的横坐标，故本题也可转化为研究函数y=lnxx的图象.令m（x）=lnxx，则由函数y=lnxx的图象得当a=1e或a≤0时，函数m（x）与函数y=a的图象有且只有1个交点，所以f（x）有1个零点；当0

例2分析利用函数f（x）=lnxx的单调性比较大小，可有如下结论：

（1）当0

（2）当elnbb，即ab>ba.

（3）方程ab=ba（0

解析（1）f（x）在（0，e）上是增函数；f（x）在（e，+∞）上是减函数.（2）因为函数y=ex，y=3x，y=πx在定义域上单调递增，故e3

（3）由（2）易得3e<πe<π3<3π，3e2-eπ.两边同乘e得，elnπ>e（2-eπ）>2.7×（2-2.723.1）>2.7×（2-0.88）=3.024>3，即elnπ>3，故lnπe>lne3，所以e3<πe.又由lnπ>2-eπ得3lnπ>3（2-eπ）>6-3eπ>6-e>π，即3lnπ>π，所以eπ<π3.综上，3e

例3分析第（1）问考查函数f（x）=lnxx在某点处的切线；第（2）问考查函数f（x）=lnxx与其它函数图象的关系.

解析（1）切线l的方程为y=x-1；（2）除切点1，0之外，曲线C在直线l的下方等价于lnxx0，x≠1恒成立.只需证x-1-lnxx>0，x>0，x≠1恒成立.令g（x）=x-1-lnxx，x>0，x≠1，只需证g（x）min>0.下求g（x）min.g′（x）=x2-1+lnxx2，又h（x）=x2-1+lnx在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，故g′（x）=x2-1+lnxx2=0有且只有一个根x=1.因此，x∈（1，+∞）时，g′（x）>0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增；x∈（0，1）时，g′（x）<0，函数g（x）在（0，1）上单调递减.故g（x）min>g（1）=0.即除切点1，0之外，曲线C在直线l的下方.

4相关应用

两个函数图象的关系可转化为不等式恒成立来处理；反之，不等式恒成立问题，有时我们可以从函数图象入手，找到解题的切入点.

例4当x∈（0，e]时，证明：x2-12x>（1+x）lnx.

证明因为x∈（0，e]，所以不等式可以变形为x-lnx-12>lnxx.令f（x）=x-lnx-12，g（x）=lnxx，又f′（x）=x-1x，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，因此f（x）min=f（1）=12.又g（x）max=g（e）=1e，因此f（x）min>g（x）max，故当x∈（0，e]时，x2-12x>（1+x）lnx.

点评（1）对于由对数函数和幂函数组合而成的函数，一般是构造函数y=lnxx进行证明.（2）不等式f（x）>g（x）恒成立通常是利用构造新函数h（x）=f（x）-g（x）转化为函数h（x）的最值，当此法不易解决时，我们一般考虑求出函数f（x）的最小值a和函数g（x）的最大值b，若a>b，则问题得证.但需注意f（x）min>g（x）max是f（x）>g（x）恒成立的充分不必要条件，不具有一般性.

（3）我们可借助函数图象，找到证明思路，如图2.

图2图3例5已知f（x）=ex-2-lnxx，证明：f（x）>0.

分析f′（x）=ex-2-1-lnxx2，f′（x）=0的解不易求得.如果作出函数y=ex-2和y=lnxx的图象，则容易看出这两个函数的图象都与直线y=x-1相切（如图3），从而可以转化为证明不等式ex-2≥x-1及x-1≥lnxx.

证明定义域（0，+∞），设g（x）=ex-2-x+1，则g′（x）=ex-2-1，所以在（2，+∞）上，g′（x）>0，g（x）单调增，在（0，2）上，g′（x）<0，g（x）单调减，故g（x）≥g（2）=0.即ex-2≥x-1（当且仅当x=2时取等号）.又由例3知x-1≥lnxx（当且仅当x=1时取等号），因此ex-2≥x-1≥lnxx（等号不能同时取到），所以ex-2>lnxx，即f（x）>0，得证.