理解教材用好教材

祝要辉

数学的逻辑严谨性主要体现在数学概念的系统性上，后继概念大多是在前概念基础上的逻辑建构.因此，数学课堂教学中教师要把教材提供的知识内容进行有效激活，并结合学生的数学思维发展水平，立足于学生的最近发展区，立足于构建“前后一致逻辑连贯性”的学习过程，创设出恰当的数学课堂探究情境和数学思维探究过程，使数学课堂探究活动适合学生的认知发展规律.下面结合笔者的教学实践，谈谈教材在编排“两角差的余弦公式”时的课前铺垫与课后拓展，不妥之处恳请指正.

1铺垫

教学片断1（文[1]第104页）：我们证明运算律（3）a+b·c=a·c+b·c.

图1证明如图1，任取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c，因为a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，所以|c|·|a+b|cosθ=|c|·|a|cosθ1+|c|·|b|cosθ2，所以c·a+b=c·a+c·b，所以a+b·c=a·c+b·c.

铺垫1在两角差的余弦公式的探究过程中，构造图形2有一定难度，从表面看与数量积似乎没有多大联系，其实不然，对比图2与图1可以发现，图形2构造过程中线段OM就是线段OA与AP分别在OM上的投影之和，它的主要依据就是向量数量积的几何意义，从中可以看出这与向量数量积分配律的证明思路是一致的；进一步研究发现，两角差的余弦公式的推导利用了向量数量积的定义及其它的坐标表示，其中向量数量积的坐标表示“a·b=x1x2+y1y2”起到了关键作用.也就是说两角差的余弦公式的证明过程或直接或间接地应用了向量数量积，二者应用的数学思想方法也是完全吻合的.

图2图3教学片断2：（文[1]第108页，习题2.4B组）如图3，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），试用A、B两点的坐标表示∠AOB的余弦值.（借助向量OA=（cosα，sinα），OB=（cosβ，sinβ）的数量积就能解决问题.）

铺垫2知识之间原本就是互相联系的整体.对于单一问题来说学生容易掌握，但不容易发现问题之间的内在联系，因此学习一段时间后有必要引导学生回归教材、从整体角度来审视这些问题，并将它们串起来、形成问题链，进而达到融会贯通的效果.在教学片断2的情境下推证两角差的余弦公式就能顺利地将新旧知识有效连结起来、找到问题间的内在联系，使向量数量积的定义及其坐标表示的引入不那么突然.

2拓展

教学片断3（文[1]第121页，复习参考题B组）点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式如何推导？设P（x，y）是直线Ax+By+C=0上任一点，记点P0到直线l的距离为d，l的法向量n=（A，B），P0P与n的夹角为θ，则P0P=（x-x0，y-y0），于是A（x-x0）+B（y-y0）=|n|·|P0P|cosθ，即-Ax0+By0+C=|n|·|P0P|cosθ，又d=||P0P|cosθ|，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

拓展3这样，点到直线的距离公式也可以用向量的数量积推导出来.那么asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）能否利用点到直线的距离公式导出呢？设asinθ+bcosθ=c，令X=sinθ，Y=cosθ，则单位圆的圆心O到直线aX+bY=c的距离d=|c|a2+b2，又因为d=|cos（θ-φ）|（其中tanφ=ba），所以|c|a2+b2=|cos（θ-φ）|，即asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）.既然两角差的余弦公式以向量数量积为主要推证方法，就可以用向量数量积的坐标表示来解决（文[1]第144页）：6.（1）略.（2）你能用a，b表示函数y=asinx+bcosx的最大值与最小值吗？设OA=（b，a），OB=（cosx，sinx），则OA·OB=asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）.

从中可以看出，设计课堂教学时首先要考虑的就是学生的经验和已有的知识，即学生知道了什么，怎么知道的，以什么方式知道的，这其实包含了认知的广度、认知的方式和认知的结构三方面的含义，在学生已有的知识范围内选择合适的教学情境作为切入点，用合适的方式激活学生的认知，实现认知结构的有效对接，为学生的思维发展提供平台.其次要考虑的是教材的结构特征与编写者的意图，现行高中数学教材“模块整合，螺旋上升”导致同一知识模块分布在不同的章节中，创设教学情境时要理清各个模块之间的逻辑关系，用思想方法来统领模块知识；作为教师也只有领会到教材的结构特征与教材编写者的意图才能从宏观上把握教材、理清知识脉络，设计出合乎情理的教学情境.

参考文献

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学必修4[M].北京：人民教育出版社，2007.