试论数学好课的三种味道

胡晋宾　刘洪璐

1数学好课三种味道的提出

教师都要上课，也都希望把课上好.什么叫做数学好课？它有标准吗？

提及标准，人们常会想起《全国中学青年数学教师课堂教学评价标准》.在其中，教学活动被划分为教学目标、教学内容、教学过程、教学资源、教学效果、专业素养等6个条目，并配有具体描述.文[1]列举了评价数学课的相关性、联系性、平衡性等12个重要方面.然而，最后评价时，还是人们（评委）根据标准的描述进行价值判断和量化打分.具体的教学时，教师不可能如同西医化验一样参照指标对号入座.虽然数学的内容和知识是相对确定的、客观的，但是数学教学却是带有很强主观性的交互活动.因此，上述标准与其说是一个标准，不如说是一个参照.

如果说上述标准是一个微观分析式的量化考察的话，那么我们不妨换个思路来进行宏观概略式的质性审视.

人们常说，读经味如稻粱，读史味如肴馔，读诸子百家味如醯醢（音希海，即醋和肉酱）.也就是说，读书有三种味道：读四书五经之类味如吃米面，是食之本；读史记味如喝美酒吃佳肴；读诸子百家之类的书，味如酱醋（好比烹调中的佐料一样）.类似的，我们认为，上出好课如同烧制一道好菜，数学好课是同行品评之际的一种良好感觉，是师生教学活动飘散开来的一种美妙味道.数学好课应该至少体现数学味、教学味或者文化味中的一种味道.

2数学好课三种味道的涵义

2.1数学好课的数学味

所谓数学味，就是数学好课应该体现数学学科的抽象化、形式化、模式化和公理化等特点，反对“去数学化”.许多学者对数学教学的“数学味”都很重视.1952年，陈建功提出支配数学教育的目标、材料和方法的有实用、心理和论理三大原则，并指出要将它们统一起来[2].也就是说，数学教学应该注意数学的实际价值、契合数学的教学心理，以及强调数学的逻辑推理.张奠宙等认为一般教学原则不能体现数学学科的实际，于是提出学习数学化、适度形式化、问题驱动、渗透数学思想等4条数学教学原则[3].我们不难看出，陈建功所提的论理原则和张奠宙的4条原则，都是对“数学味”的一种强调.在数学课上，尤其是高年级的数学课上，数学味是数学课的关键.提倡教学要注意数学味，除了要力避差错、硬伤以外，还要注意以下几点.

第一，反对“去数学化”，要注意揭示数学本质，防范非本质属性泛化.比如，一个关于集合学习的案例，就是“去数学化”的典型.在其中，教师教学时分别叫男生、女生、白人、黑人起立，指出这些人都可以构成集合；然而学生并没有真正理解集合的本质（是一类具有确定性、互异性和无序性的元素的聚合），却误以为只有能站立的元素才能构成集合.又如，在利用分豆子进行除法教学时，不能老是让学生停留在分豆子阶段，以为除法就是分东西，而应该适时抽去“脚手架”，让学生在头脑中进行抽象思考.

第二，反对“去数学化”，就要防范数学异化.比如，时下新课改中一些教师为了体现三维目标尤其是情感、态度与价值观目标，在教学中增加趣味性、情境性过多的内容，有些花里胡哨的做法冲淡了数学学习与教学的本质.又如，在利用信息技术辅助数学教学时，教师没有进行很好的调控，从而学生将注意力偏移到技术的热闹、动画的形象之中，没有聚焦到数学思考和数学理解之中.再如，把数学教学窄化为习题讲解和机械训练，让学生挣扎在无边的题海之中，以致使学生形成错误的数学观念，以为数学学习就是没完没了的解题.与之相反的是，数学教学应该时刻关注数学学科本质，围绕“数学味”做文章.例如，我们在借助“怎样烧开水最省煤气”开展数学建模教学时，考虑到不可能在诸如收集和处理数据等枝节问题上花费更多时间，而要在函数建模这一主旨下，把精力对准问题的提出、模型的筛选、结论的反思、过程的体悟和数学课堂文化的构建上，让学生经历从实际问题抽象到数学问题的数学化过程，体会到数学应用的广泛性.经过这样教学设计的再创造，效果较好[4].

第三，反对“去数学化”，要注意适度“数学化”.“数学化”是学生的“数学化”，而不是数学家的“数学化”.课改中我们不能以数学家的高标准来要求普通学生，从而避免重蹈新数运动的覆辙.世纪之交发生在美国的“数学战争”[5]和中国的数学课程改革争议，从某种意义上来说也是不同群体之间的“数学教育战争”.当下，人们非常担心以大众数学为口号的改革会丧失中国的好不容易形成的双基教学优势，担心对传统的欧氏几何内容的削减和数学结构的淡化会降低学生的修养.实际上，数学化要适度，要循序渐进和与时俱进——如若学完实数就向实数理论进军，学生肯定吃不消；但若在信息时代还将对数运算当做重点，无疑有些保守.可能将数学教学中的数学化，定位于“数学教育意义下的数学化”更好一些.而且，我们也不可能真正还原到数学发生发展时的数学化，只是一种加工过后的数学教育意义上的数学化.不仅如此，一千个人有一千个哈姆雷特，不同的人就有不同的数学化.

第四，不应该简单地把“去数学化”和设置现实情境、自主探究、分组活动和使用多媒体划上等号.教学手段与方法要立足实事求是，要追求合乎自然，不要华而失实，不要喧宾夺主.

2.2数学好课的教学味

所谓数学好课应该有教学味，就是数学好课应该体现教师的主导作用，倡导基于教学实际进行教学法加工，实现从学术形态到教学形态的转化，展现出数学的从“冰冷的美丽”到“动人的鲜活”的生动过程.教师在教学时既要有所预设，也要基于课堂实际情境努力实现建构创生.陈建功提出的心理原则，实际上也就是强调教学要切合学生的心理实际，要体现教学味.提倡数学课有教学味，要注意以下几点.

第一，反对不顾教学实际照本宣科，反对把教科书当做圣典顶礼膜拜.古德莱德认为课程有5种形态，即理想的课程、正式的课程、领悟或理解的课程、运作的课程、经验的课程.那么，教师主要的任务是从理想的课程到经验的课程之间架起桥梁.“教材不是供传授的经典，不是供掌握的目的，不是供记忆的知识仓库，而是供教学使用的材料.面对新课程标准，教师和学生不是‘材料员而是‘建筑师，他们是材料的主人，更是新材料和新教学智慧创生的主体”.[6]这就要求教师既要备课，也要备人；既要预设，更要生成.教师要对教材有整体的把握和驾驭，既要对教材进行深入细致的解构，也要针对教学实际进行整合重组.（相关案例参见文[7]）

第二，反对教学墨守陈规，或者简单照搬、拷贝他人教案，提倡根据实际情况进行改造和再创造，鼓励反思超越和大胆原创.比如，我们在对分类计数与分步计数原理的公开课教学时，考虑到教学班级是文科重点班，学生热爱写作，思维活跃，数学基本功比较扎实，也有小组合作学习的经历，因此我们尝试着借鉴文学创作的一些手法进行教学设计.经过这样处理后，更好地调动了学生的智力参与，使得学生对数学学习产生亲近感，从而产生良好的情感体验，起到意想不到的效果[8].

第三，反对教师不顾课堂变化而过度忠实，不敢创生.教师要有所预设，更应注意生成.课堂教学是瞬息万变的，计划赶不上变化，过度忠实于教材或者教案只会凝固思维的交锋，窒息创造的生成.数学教学是数学思维活动的教学，这种思维活动的实现是通过学习共同体中的师生、生生对话得以实现的.我们在进行高三基本不等式一轮复习教学时，一方面，很多同学在回答的时候不很完善，教师通过对话和追问使得粗糙的解答完善起来；另一方面，上课前教师已经在其他班级进行了2次预讲，对所授内容和学生的各种可能反应有所准备，形成了大致的教学预设，但是实际生成时还是有很大的差异，教师及时捕捉了课堂上的变化，并积极促成了交互生成，从而取得了较好效果[9].

2.3数学好课的文化（人文）味

所谓数学好课应该有文化（人文）味，就是教师要认识到数学蕴含的理性精神和文化价值，认识到数学教学是基于证明与反驳的一种社会建构和文化再生.按照郑毓信的观点，数学应被看成一个由理论、方法、问题和符号语言等多种成分所组成的复合体，它是模式的科学，数学是形式与非形式、科学性和艺术性、知识成分与关联成分的辩证统一，等等，现代数学是一个相对独立的文化系统[10].数学教学的目标除了数学知识的获取、数学能力的提高以外，还有数学思维的养成、数学文化的熏陶，它们共同构成了学习主体的数学发展.提倡数学课有文化味，要注意以下几点.

第一，在教学过程中，应该体现数学的人文性.要揭示出数学家在发明和发现数学知识时的痛苦、迷茫、超越等喜怒哀乐的人文性，让学生体会到数学不是绝对客观的，数学知识的发展不是一蹴而就的，而是由历代数学家不断累积且永远处于动态发展中的，反对“目中无人”，从而展现数学知识作为一种社会建构的人文侧面.比如，数系的不断扩充和复数的艰难引入就具有相当的人文教育价值.再如，在学习对数时，我们可以这样引导学生进行探究[11]：人们通常会通过辨识“标准对数视力表”来检测视力，既然叫做“对数视力表”，难道和对数有关系？如果和对数有关系，那么它的背后又有多少“数学内核”？仔细观察视力表就会发现，上面有14行每行不等个数的“E”形图标等距离自上而下排列，旁边标有两列数据，其中五分记录分别为规则的等差数列40，41，…，52，53，对应的小数记录却为不规则的数列01，012，015，02，025，03，04，05，06，08，10，12，15，20.为什么会有这样的设计？我国专门颁布了视力表的国家标准，它的意义究竟何在？……实际上，研读视力表的发展历史可知，从“标准对数视力表”的发明，到国际上许多国家纷纷仿制对数视力表，再到1989年国家颁布相关标准，直至今天它在日常体检、视力防治等方面发挥着的广泛作用，其间经历了无数风霜雪雨.当年纳皮尔等先贤为了简化计算而发明了对数，现如今人们把它运用到了视力检测和视力表研制上来.很难想象，没有发现数学关系的慧眼和运用数学知识的匠心，“标准对数视力表”就不会被中国温州医学院缪天荣教授发明并走这么远.

第二，在教学过程中，应该倡导一种积极的、平等的、建构的、对话的数学课堂文化.数学教学是数学共同体的建构、反思、证明、批判的互动过程，是经验和拟经验的统一.数学学习不仅是一个知识经验的累积过程，而且也是一个文化观念的继承过程.数学教学只有以人为本，师生才能在教学之中体验到思维的乐趣和创新的幸福.

第三，在数学教学中，从数学文化的视角来进行立意.要在教学中让学生认识到，数学本来就是人类的一种文化现象，没有人就没有数学.作为一种文化来体现出数学的价值，一方面数学可以运用于实际并解决实际问题，另一方面数学具有内在思维价值.数学是一种文化，体现在模式、思想和理性精神等方面；西方现代文明从某种意义上来说，是一种源自古希腊的科学理性文明.正因为数学是一种文化，而文化的主体和境域是多元的，所以数学文化是多元的，数学教学应该体现对不同的数学传统文化的尊重和理解.比如，具有以欧几里得《原本》为代表的公理化演绎体系特色的西方数学，和具有以《九章算术》为代表的机械化算法体系特色的东方数学，以及不同族裔的民俗数学，和不同个体的数学现实，都应该平等对待，同等珍视.

3数学好课三种味道的关系

数学好课是一种追求，实际教学中也不可能堂堂精彩、句句华章.对于具体的一节数学好课来说，数学好课三种味道要是能够体现至少一种就算不错.数学味、教学味、文化味（人文味）之间的关系，可以用如下的示意图来表示.

首先，数学好课必须具有数学味道，具有明显差错、硬伤，没有数学味道的课，肯定不是数学好课.数学好课的“数学味”，实际上反映了教师的数学观，体现了教师的数学修养（功底）.这是基本要求，对应于文[12]中的经验水平，指向教学的“是什么”样态，是必须的、基本的.

其次，数学好课的“教学味”是指教师应该根据不同的教学情境、对象、内容和时空进行教学法加工，促进数学教学的协商生成.这实际上反映了教师的教学观，体现了教师的教学修养（功底）.这个味道对应于文[12]中的科学技术与艺术水平，达到教学的“为什么”样态.

再次，数学好课的“文化味”（人文味）是指教师应该揭示数学知识的人文特质，构建体现猜想与证明、批判与反思的课堂文化，并从数学文化的高度来进行教学立意.这实际上反映了教师的文化观，体现了教师的文化修养（功底）.这个味道对应于文[12]中的文化水平，是一种侧重关注师生主体体验的样态.

总之，数学教学需要在数学味、教学味和文化味（人文味）之间寻求一种动态平衡.数学好课宛如具有数学修养、教学修养、文化修养的数学教师烹制出来的一道好菜，应该至少蕴含数学味、教学味或文化味（人文味）中的一种味道.

参考文献

[1]安淑华，吴仲和.何谓数学好课[J].人民教育，2007（11）.

[2]张孝达，陈宏伯，李琳.数学大师论数学教育[M].杭州：浙江教育出版社，2007∶3.

[3]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009∶78-81.

[4]刘洪璐，胡晋宾.怎样烧开水最省煤气——新课程函数应用的数学建模个案[J].中学数学教学，2006（5）.

[5]黄荣金.美国“数学战争”始末及其启示[J].数学通报，2007（1）.

[6]杨启亮.教材的功能：一种超越知识观的解释[J].课程·教材·教法，2002（12）.

[7]刘洪璐，胡晋宾.PCK理论指导下三角函数诱导公式的教学及其反思[J].中学数学教学参考（高中版），2011（1/2）.

[8]刘洪璐，胡晋宾.借鉴文学创作手法进行教学设计的一次尝试——以“分类计数原理与分步计数原理”为例[J].数学通讯，2008（3）.

[9]胡晋宾，刘洪璐.建构关联与对话创生——高三基本不等式一轮复习的教学及反思[J].中国数学教育（高中版），2013（6）.

[10]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001∶24-25；159.

[11]刘洪璐，胡晋宾.标准对数视力表背后的“数学内核”[J].数学教学，2009（9）.

[12]杨启亮.教师职业专业发展的几种水平[J].教育发展研究，2009（24）.

作者介绍胡晋宾，男，1975年生，博士生，副编审，主要从事数学教育研究等.刘洪璐，女，1979年生，硕士，中教高级，主要从事高中数学教学及研究.