“数与形”教学实录与评析

许华庚

教材内容：人教版数学六年级上册第107页。

教学过程：

一、传说导入、激发兴趣，引入课题

1.链接“数”与“形”的初步感知。师：老师今年假期到一个地方游玩，结果到了那座山下，那座山把老师给惊呆了（出示五指山照片），你们看，那座山的外形像什么？

生：像五指。

师：对，这就是有名的五指山！相传，孙悟空就曾经被压在这里。（出示右图课件）

2.挖掘“形”背后“数”的内涵。师：五指山确实是大自然赋予我们的宝贵财富，但这“形”往往就被人们，想象成了“五指山”，形就和数就结合在了一起。所以，形是大自然的馈赠，数是人们创造的智慧。看来，这数与形之间真的还被赋予了许多丰富的想象和深刻的内涵！（板书：数形）不信，我们接着往下看：

（1）你知道女的为什么爱穿高跟鞋吗？

②芭蕾舞演员又为什么要踮起脚尖跳舞呢？

生1：因为穿上高跟鞋，女人看起来很美。

生2：因为芭蕾舞演员踮起脚尖转得快。

师：（再出示黄金分割点0.618）因为穿上高跟鞋和踮起脚尖以后，看起来就更高挑、更优美。其实，在人们追求“美”的背后，实际上是在追求黄金分割点0.618，也就是在人体上身和下身的比例达到百分之六十一点八的时候，人的形体是最美的。看来，使我们生活如此美妙的数与形之间真的还有许多的秘密！同学们想不想继续探究？（学生兴趣高涨地回答“想”）这节课，老师就带领同学们一起研究“数与形”，齐读一遍。（板书：“与”）

二、溯本求源、数形结合，植入策略

1.依形思数，依数思形。

（1）依形思数.

师：要探讨“数与形”的秘密，先让我们从简单的开始吧。（出示课件）你看到了什么？

生1：我看到了16根小棒.

生2：我看到了4个正方形。

生3：我看到了4个“口”字。

生4：我看到了每个正方形里都有4个90度。

生5：我看到了每个正方形里有4根小棒。

生6：我还看到了每个正方形里都有360度。

小结：从“形”能够看到许多的数，这就是一种智慧，那么，由数你能想到一些形吗？

（2）依数思形。

师：你能让数字1说话吗？（出示课件）

生1：1张嘴。

生2：1个太阳。

生3：1把椅子。

生4：4个1就组成一张口，一张口就可以说话。

......

师：1张桌子、1把椅子、1个太阳、1个同学、1棵大树、1架飞机......最后就把这些“形”抽象成一个数学符号“1”表示。可是，数字“1”说：“我不是你们说的那些，我的形体是1个正方形。”结果数字“3”也跑来说：“我的形体是3个正方形。”那么，同学们能否根据他们的形体，用图形表示“1+3”吗？它是一个正方形，正方形的面积等于（边长乘边长）。数字“5”也不甘示弱：“我的形体是5个正方形。”大家会用图形表示“1+3+5”吗？它又是一个正方形，正方形的面积等于（边长乘边长）。

小结：通过刚才的那个“口”的形状，我们看出来许多数，透过数字“1”，我们又能说出许多的形状，也就是：当只有形的时候，就让数来说说话，当只有数的时候，就让形来帮忙表达。如果该节课能够在数与形之间建立一种联系，引导学生穿梭在数与形之间，游走在数形结合里。那么，这节课的学习一定是成功的！

2.策略求形，植入策略。（1）出示特大数列，设置矛盾冲突、激发探究欲望。课件：10秒算结果：1+3+5+7+9+11+…+99997+99999=？

老师计时，……5、4、3、2、1、停。（课件出示结果）（学生是无法做出的，意在设置矛盾冲突）想知道吗？我告诉你，因为99999接近10万，10万的一半就是5万，5万的平方就是25亿（2500000000）。想知道我是怎样算出来的吗？（学生异常兴奋地说出“想”）我们今天学习的是什么？（“数与形”），那么，这些数字，我们就用图形来帮助表达一下嘛！但是，这个天外来物（指题目）的大数据，能画这么大的图形吗？肯定不能，那怎么办呢？就采用“数形结合”“以小见大”（板书：“数形结合”“以小见大”）的策略吧！我们不看后面很大的数，只要分别用图形表达出前面的几个数，就能找出这组数计算的规律啦！大家想不想试试？（学生兴高采烈地说“想”）

（2）借助提供信息，创造以小见大，体现数形结合。

（出示课件并齐读）根据以下信息，用彩笔创造一个“数形结合”“以小见大”的几个图形分别表示1，1+3，1+3+5，1+3+5+7……就知道下面题目怎么计算了。（展示学生创造的数形结合图形如下）

1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9

（3）展示数形结合，寻找数列规律，构建数学模型。

①为了在点子图上摆出更具体直观的图形，我送你们一张点子图（贴到黑板上）来体现“以小见大”的策略，老师先摆这列数的第一个数“1”，这是一个方格，这个方格是正方形，正方形的面积等于（边长乘边长），也就是1乘1得1的平方。（如图一，板书：1=12）

②为了体现这列数的前两个数的图形，老师再接着摆第二个数字“3”，所有磁块的个数就是“1+3”，（如图二）它又组成了一个正方形，这个正方形的面积等于？（2乘2得2的平方）（贴板书：1+3=22）

③同学们，老师就摆到这里。下面你们敢仿照老师的摆法往下摆吗？（学生摆出图三）你摆出的总个数怎样记录？（贴板书：1+3+5=32）

④谁还敢往下摆？（学生摆出图四）你摆出的总个数又怎样记录？（贴板书：1+3+5+7=42）

⑤谁敢再往下摆并且记录总个数？（学生摆出图五，贴板书：1+3+5+7+9=52）

……

⑥教师出示课件讲解：

老师也用“以小见大”的策略摆出了一些图形，想不想看看？课件演示请同学们一边数，一边帮着记录小正方形的总个数。1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52……

⑦观察数列，构建模型。

观察1+3+5+7+9=25=52：

a.你是做加法加得25、还是做乘法，乘得25？（做乘法五五二十五）。那么，为什么一道加法算式题你却用乘法来做呢？（因为用加数的个数相乘比较简便）

b.你发现“加数的个数”与“结果”之间有什么规律？

生：我发现有几个连续的奇数相加，他们的和就等于几的平方。

c.什么样的一列数具有这种算法呢？

生1：必须是连续的奇数。

生2：必须是从1开始的连续的奇数。

小结：对，从1开始的连续奇数相加，他们的和等于连续奇数个数的平方。

三、进行训练、应用模型，巩固策略

1.数形结合、逆向训练。

下面各数分别是哪些数相加的和？敢挑战吗？（课件出示）

（1）1+3+5+7+9+11+13=（ ）【72=49】

（2）8？=哪些数相加？（ ）（扳着手指算一算：就是从1+3+5+7+9+11+13+15=82=64，就是从1开始，共有8个连续奇数相加。）

（3）10？=哪些数相加？（ ）（再扳着手指算一算就是：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100，就是从1开始，共有10个连续奇数相加。）

小结：72、82、102其实就是边长是7、8、10的正方形的面积。102等于从1开始的10个连续奇数相加的和，即：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100。同时，我们还可以这样思考：1～20中，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19这一半正好是奇数。而另外一半的数字看不到，看不到的一半（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）则是偶数。那么，请问：1～100中从1开始的连续奇数有几个？（50个）连续偶数有几个呢？（50个）

2.依数解形、前后呼应。

难题解答（出示（贴的）板书：逐一覆盖最后两个数）

（1）1+3+5+7+9+11+……+97+99=？

（2）1+3+5+7+9+11+……+997+999=？

（3）1+3+5+7+9+11+……+9997+9999=？

（4）1+3+5+7+9+11+……+99997+99999=？

生1：（1）小题：因为1至100中有100个数，其中一半是从1开始的连续奇数到99，所以等于502=2500。

生2：（2）小题：因为1至1000中有1000个数，其中一半是奇数，所以等于5002=250000。

生3：（3）小题：因为1至10000中有10000个数，其中一半是奇数，所以等于50002=25000000。

生4：（4）小题：因为1至100000中有100000个数，其中一半是奇数，所以等于500002=2500000000。

3.变式练习、画龙点睛。

（出示（贴）板书：逐一覆盖最后一个数字）

（1）1+3+5+7+9+11+……+199=？

（2）1+3+5+7+9+11+……+299=？

（3）1+3+5+7+9+11+……+599=？

小结：同学们，我们结合黑板上大家摆的正方形点子图认真观察：刚才的几道题是不是就是正方形的边长分别是50、500、5000、50000和边长分别是100、150、300的正方形的面积？确实是这样，难怪我国数学家华罗庚感概地说数无形时少直觉，形少数时难入微。“数形结合百般好，隔离分家万事休。”

四、数形相依、强化结合，提升策略

1.图形趣变。

刚才同学们摆的正方形，如果碰一下会怎么样呢？请看！（课件出示）那么如果再碰一下又会怎么样呢？哟！又变成如此美丽的图案，在这美丽的图案背后还有数学思考呢！请看！

2.趣味填数。

根据下面的图形说一说第5、6、7个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。你是根据怎样的排列规律得出的结果？第100个数是（ ）。

1 3 6 10（ ）（ ）（ ）……（ ）

第1个数 2 3 4 5 6 7 ……第100个数

生1：第5、6、7个数分别是15、21、28，我是根据从第二个数开始依次加上2、3、4、5、6、7得到的。

生2：我不是这样填，我是根据第几个数，就用几加到1，比如：

第一个图形=1

第二个图形=2+1=3；

第三个图形=3+2+1=6；

第四个图形=4+3+2+1=10；所以，

第五个图形=5+4+3+2+1=15；

第六个图形=6+5+4+3+2+1=21；

第七个图形=7+6+5+4+3+2+1=28；

第100个数就是第100个图形=100+99+98+97+……+5+4+3+2+1。

3.梯形与高斯。

你真了不起。你的这种方法是最好最棒的！要计算100+99+98+97+……+5+4+3+2+1等于多少？方法很多：方法一：可以用今天学习的知识加上“转化思想”（板书：转化思想）就能算出来。把100分成单数和双数：

100+99+98+97+…+5+4+3+2+1。

方法二：还可以用梯形的面积公式来计算。请看：（1）计算第一个梯形里有多少根木头？（出示课件）

生：木头的根数=（3+7）×5÷2=25

（2）计算和在一起有多少根木头？（出示课件）

生：木头的根数=（3+16）×14÷2=133根

（3）如果再在上面再加两层，一直堆到100层，一共有多少根木头？（出示课件）

师：其实，求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+………+99+100等于多少？就是求梯形的面积，根据梯形的面积公式=（上底+下底）×高÷2。所以100层木头的总根数=（1+100）×100÷2=5050，数学家高斯在8岁时就会计算了。当时，他并没有学过梯形的面积公式，他用数形结合、以小见大的思想方法来直观解决这一数学难题的。即：高斯求和=（首项+末项）×项数÷2=（1+100）×100÷2=5050。（板书：高斯求和）

五、总结全课、课外拓展，延伸策略

1.名言创改。（课件出示）通过今天的学习，大家是不是真正体验了当只有“形”的时候，就让“数”来说说话，当只有“数”的时候，就让“形”来帮忙表达。这节课真正实现了让我们的思维随时穿梭在数与形之间，游走在数形结合里，所以，我非常欣赏华罗庚的名言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”。但是许老师今天要为同学们改一改：“数形结合百般好，以小见大万事通。”

2.课文拓展。（课件出示）选择你喜欢的□、○或线段图等，用“数形结合”的思想，把单位“1”逐一平均分成一半、一半、再一半……，思考并且见证“以小见大”解题策略的奇迹！