关于同济六版《高等数学》的几点注记

程慧燕　蒋文丽

摘 要 本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，对比区分了易混的三组概念和符号，探讨了从数列极限到函数极限的自然过渡方法，分析了常系数非齐次线性微分方程求特解时多项式的设置方式，发散了高斯公式的应用中一道例题的解法。

关键词 同济六版 高等数学 符号 概念 解题方法 注记

中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.01.021

同济六版《高等数学》是一部经典的工科类本科数学基础课程教学的教材，适合当前我国各类高校工科类本科专业根据不同的教学要求分层次教学的需要。但是，再完美的教材鉴于作者的认知方式也有不尽如人意的地方。概念、符号、解题方法对于高等数学来说是精髓，是灵魂，本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，以资借鉴和提高。

1 几个基本概念、符号的说明

对高等数学课而言，学生要想把它学好、学精，离不开对一些基本概念的理解和一些符号的准确掌握，尤其对于初学者。所以，作为教师就要在授课时对学生正确引导，注意区分，多加强调。

1.1 单侧极限、单侧导数及导数的单侧极限的符号

同济六版《高等数学》第一章第三节（P34）给了单侧极限概念，把左、右极限分别记作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一节（P83）给了单侧导数概念，把左、右导数分别记作（） = 、（） = ；按照上面这两种记法，不难想象（）、（）分别表示的就应该是函数 （）的导函数 （）在点处的左、右极限，也就说有（） = （）、（） = （）。

这里以→为例说明这些符号的不同。 （）、（）、（）分别代表的就是函数 （）在处的右极限、右导数及导数的右极限，其中（）还蕴含函数 （）在的右邻域（， + ）内每一点可导。虽然其符号极其相似，但这三个是完全不同的概念，不能混为一谈，尤其要引导学生正确书写和理解不同符号的含义，特别是对于后两者，很多高等数学的初学者在解题的时候误认为（） = （） = （），求分段函数在其分支界点处的导数时，用这种方法可能会导致计算结果的错误。比如下面这一问题，设，则（0）= = = 0，当≠0时，（） = 2，而（2）不存在，就是（）没有意义，所以说（）与 （）之间一般不存在相互关系，不要错误利用来解题。

同济六版《高等数学》第二章第一节（P87）给了这样一道习题：

设函数，为了使函数 （）在 = 1处连续且可导，、应取什么值？

常规的解法应该是： （）在 = 1处连续，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1处可导有 （1） = （1），即 = = ，从而 = 2， = 。

值得一提的是，很多学生在做作业的时候关于 （）在 = 1处的可导性条件是这么用的：当≤1时， （） = ，当>1时， （） = ，由条件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，从而 = 2， = 。很多老师在批改作业的时候就认为学生的这种做法是错误的，事实上王金金，任春丽在文献[3]中已经证明：设函数 （）在[， + ]上连续，在（， + ）内可导，且 （） = 存在，则函数 （）在点处的右导数（）存在，且有（） = （） = （）。

所以，尽管（）与 （）是不同的概念，但是在一定条件下它们之间有联系，既要引导学生正确区别，同时不要不假思索地给学生的作业判错，要引以为戒。

1.2 函数微分学的一些符号

同济六版《高等数学》第二章第三节（P99）给了高阶导数的概念，以二阶导数为例：

一般的，函数 = （）的导数 = （）仍然是的函数。我们把 = （）的导数叫做函数 = （）的二阶导数，记作或，即 = 或 = （）。

其中符号 = = ；表示的二阶微分，即是对微分两次（ = 0）；表示对微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含义，不能混淆，尤其是 = 与≠。比如像有的教材上给出如下的习题：

设 = ，求，，，。

像上述例题中的表达式，就不准确，误认为 = 与 = 。

1.3 最值与极值的定义

同济六版《高等数学》第一章第十节（P70）给了函数最值的概念：

对于在区间上有定义的函数 （），如果有，使得对于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），则称 （）是函数 （）在区间上的最大值（最小值）。

第三章第五节（P154）给出了函数极值的概念：

设函数 （）在点的某邻域（）内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就称 （）是函数 （）的一个极大值（或极小值）。

上述两个概念是有很大不同的。首先，最值是定义在函数有意义的某个区间上，是一个全局性的概念，而极值是定义在函数有意义的某点的某邻域范围内，是一个局部性的概念；其次，最值的定义中“对于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而极值的定义中“对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是严格大于或者小于 （）；比如定义在区间[0，2]的常数函数 = 1，在区间[0，2]上能取到最值，区间[0，2]上的每个点都是最值点，但是此函数在区间[0，2]上取不到极值；第三，极值一定是局部的最值，最值却不一定是极值，极值只能在区间内部取到，而最值可以在区间端点取到。

2 函数的极限的讲解方法

从数列极限到函数极限，同济六版《高等数学》是先介绍自变量趋于有限值时函数的极限，而后介绍自变量趋于无穷大时函数的极限。为了增强对比学习的效果，比照 = 0让学生讨论，从数列极限过渡到时函数极限，接着引出、时函数极限的概念，比如可以从 （） = 的图像出发，启发学生类似时函数极限讨论→时函数极限，以具体实例引出单侧极限的概念，从而实现从数列极限到函数极限的自然过渡。

3 常系数非齐次线性微分方程求特解

同济六版《高等数学》第七章第八节（P341）给出了二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = （），当 （） = 时不用积分就可求出方程特解的待定系数法。

设 = （），带入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。当是特征方程 + + = 0的单根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此时（）必须是次多项式，教材上说“可令（） = （）”。很明显，（）与（）是不同的，二者相差一个常数，不影响最终的结果吗？事实上，当是特征方程 + + = 0的单根时，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一项（ + + ）（）不起作用，同时（）比（）多出来的那个常数在求导的过程中不影响导数的结果，也就是说令（） = （）或者令（） = （）都能满足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系数时还少求解一个系数，何乐而不为？当是特征方程 + + = 0的重根时，可令（） = （），是一样的道理。这一点作为教师必须得清楚。

4 高斯公式的应用中一道例题的解法

同济六版《高等数学》第十一章第六节（P231）例1：

利用高斯公式计算曲面积分（） + （），其中为柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧（如图1）。

教材上利用高斯公式把曲面积分（） + （）转化成了（），接下来的计算完全可以发散开来让学生去想怎么求，因为三重积分的计算他们已经学过并且很熟悉。按照惯常的思维，最直接的解法是把上面的三重积分化成直角坐标下的三次积分，不过不难发现积分区域 在坐标平面上的投影是圆域，所以也可以按照书上把其化成柱面坐标下的三次积分（），同时这个三重积分的计算还可以进一步延伸利用对称性和截面法转化为 = = 。

数学被誉为锻炼思维的体操和人类智慧之冠上最明亮的宝石，高等数学更是很多理工科学科进一步学习的基础，所以在备课的时候做充分的准备，而授课时尽可能以一种比较易于为学生接受的思维和方式来展开是很有必要的。同济六版《高等数学》虽然很经典，但是在一些细节处理上还是可以改进的，其中一些没有点明，被作者略去的内容还是需要教师在授课的时候讲到的，最起码是自己备课的时候应该用心想过的。当然，仁者见仁智者见智，毕竟从学生的实际出发、切合不同专业的需要才是最根本的。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 王金金，任春丽.函数的右导数与导数的右极限的关系[J]. 高等数学研究，2009.12（5）.