学生“无虑”，教师就能“无忧”了吗？

李艳红　严育洪

【“望”：病例观察】

“认识一个整体的几分之一”是苏教版数学三年级下册的内容。在教学中，教师普遍认为这节课比较难教，原因主要有以下两个：一是学生从认识一个物体的几分之一到认识一些物体组成的一个整体的几分之一，是认识分数的一次飞跃，跨度比较大；二是在小学数学中，分数一般都采用以下定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。表示把单位“1”平均分成多少份的数叫作分母，表示这样多少份的数叫作分子，分数强调的是部分与整体的关系。而对于三年级学生来说，由于分的是一些具象物体组成的一个整体，他们比较关注表示的个数与总个数的关系，而忽略了表示的份数与平均分的份数的关系，这就造成了认识上的偏差。对此，有教师设计了以下教学过程，刻意避开总数的干扰，让学生对此“无虑”。

1.课件出示图片及录音：猴妈妈运来了一车桃，小猴兄弟四个可高兴了。它们想：哇，这里的桃真多啊，妈妈一定会平均分给我们吃的，我们每只猴可以分得这车桃的几分之几呢？

设问：你们认为是几分之几？为什么？知道车里有多少桃吗？不知道这车桃有多少个，你为什么认为是呢？（把这一整车桃平均分成4份，每份就是这车桃的）这里的“4”和“1”各表示什么？

2.课件出示图片及录音：猴妈妈只从车上搬出了一箱桃，小猴兄弟们有点失望，现在每只猴可以分得这箱桃的几分之几呢？

设问：知道箱子里有多少桃吗？现在你怎么想呢？（把这一整箱桃平均分成4份，每份就是这箱桃的）

3.课件出示图片及录音：猴妈妈说：一顿不能吃太多，今天只能给你们一盘桃。小猴们真是太失望了，现在每只猴可以分得这盘桃的几分之几？

设问：你是怎么想的？（把这一整盘桃平均分成4份，每份就是这盘桃的）

4.比较：我们帮小猴平分了一车桃、一箱桃、一盘桃，大家比较一下平均分的结果，你能得出什么结论？（无论多少桃，只要平均分成4份，每份都是这些桃的）

……

【“问”：病历记录】

整节课完成得非常顺利，看上去学生在课堂上没有困惑，没有争议。那么，刻意避开了“总数”干扰的教学，效果真的就这么理想吗？

为此，笔者特意找来上课的部分学生当场试验。笔者顺着课中的情景出了一题：“把一些桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这些桃的几分之几？”给学生练习，结果答案都是“”，然后笔者把题目改成：“把2只桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这些桃的几分之几？”再给学生练习，结果出现了“”“”等答案，其中“”居多，有的学生还无从下手，感觉到题目很陌生。而这一现象在之后的课后作业中也出现了。

面对学生的不知所措，执教教师感到了问题的严重性。此时，笔者提醒道：“与其后来还是会出现问题，我们为何不把问题解决在第一时间内呢？”

【“切”：病理诊治】

“认识一个整体的几分之一”是“认识一个物体的几分之一”的后继教材，其教学难点是对每份与每份包含的具体数量不吻合的这类分数的理解。这是由于学生之前接触的都是实实在在的数，所以在教学中，学生往往会纠结于分数的抽象性与分“数”的具体性之中。鉴于此，上述课例的执教教师改编了教材，通过把一车桃、一箱桃、一盘桃平均分给4只小猴的思考，故意隐去总体数量，让学生避开桃子具体个数的干扰，感受到“虽然整体在变化，但平均分的份数没变”，比较归纳出“无论多少桃，只要平均分成4份，每份都是这些桃的”的结论，教学过程显得非常顺利。

确实，如果按照教材编写的例题（如下图）来教学，是很容易发生问题的。因为教材例题内容恰好是物体的个数与分的份数相等的特例，此时有些学生说出的“”答案，未必是真的理解，因为可能在一些学生的眼里，分母4就是一个“实数”——4只桃子甚至是4只小猴，分子1也是一个“实数”——1只桃子甚至是1只小猴，并没有把它们转化成份数（此时学生还没有学习分数与除法、分数与比的关系知识），也就是分母、分子应该是一个“虚数”，分母4表示平均分成了4份，分子1表示这样的1份。

由此可见，教师如果不追问学生的想法，是很容易造成学生对分数意义的误解的。这种错误一直要等到当物体的个数与分得的份数不相等时，例如教材“想一想”中的内容（如右上图），学生的认知缺陷才会暴露出来，笔者在以往的听课中发现，

许多学生认为此题的回答是“”，这是一个同样需要追问的答案：如果学生认为“一共平均分成了4份，所以分母是4，每只小猴分得了这样的2份，所以分子是2”，这种思路是可以的，虽然需要学生对图例的表示方法进行改造，并且这种认识几分之几的知识属于后续课的教学内容，这样的超前认识说明学生的思维具有灵活性，教师应该加以鼓励，此时的“”就是此题答案的另一种表示方法；如果学生认为“一共4只桃子，所以分母是4，每只小猴分得2只桃子，所以分子是2”，这种思路说明学生还没有真正理解此阶段教材所体现的分数的分率意义，依然留恋于具体数量上，还没有转移到部分数量与整体数量的关系上。当学生的视线能够从关注表示的个数与总个数的关系转移到表示的份数与平均分的份数的关系时，学生也就很容易地想到教材“想一想”中图例所示方法，从而得到“”这一更为简洁、更为抽象的答案。

由此可见，教材的例题是很容易让学生发生问题的，例题内容比较“含蓄”，不容易发现学生的思想问题，而“想一想”的习题内容则比较“明显”，更容易暴露学生的思想问题。所以，教材“想一想”中的内容不应该轻描淡写，教师应该重视这一素材的使用，让学生在思维碰撞中明晰此阶段教材对分数内容的理解。

当然，我们也可以一开始就让学生发生认知冲突，例如把教材例题与“想一想”的习题置换一下，这样可以一开始就让学生原始思维中发生的问题无所遁形，把问题解决在第一时间里。当学生一开始就找到知识的正确密码之后，再解答原来例题那样的特例就不会发生误打误中的假性理解了。endprint

另外，为了使学生的思维能够更加深刻，除了像教材那样从例题到“想一想”习题中采用的“物体总数不变而改变份数”的做法，我们还可以采用“份数不变而改变物体总数”的方法，以突出每份中具体数量的变化，引导学生在变与不变中、在抗干扰中抓住知识的本质。

综上所述，出错并不可怕。笔者就曾经看到这样一个故事：一位女士去美国老师家做客，看见3岁的孩子正在用钥匙笨拙地开卧室的门，可是由于角度不对，怎么也打不开。正当她要帮助他的时候被老师阻止了：“不要去打扰他，让他自己先犯些‘错误吧，试一会儿总能把门打开的，这样他就再也不会忘记怎样开门了！”

在实际教学中，大多是教师在害怕学生出错，他们没有意识到学生的出错在教学中的价值，认为错误可能会造成学生的先入为主，此后扭转学生的认识就会比较困难，于是就会像前文课例那样刻意地回避学生可能出错的知识原点，防止学生出错而干扰学生的正常学习。

其实，在教学中，知识之“门”应该由学生自己去尝试打开，在犯错中进步才是学生学习的正常状态，不犯错的学习反而是不正常的，也是不可能的。有人说“教室是学生出错的地方”，此言甚是。心理学家盖耶也说过：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将失去最富成效的学习时刻。”波普尔则把尝试和排除错误的方法看成是新的学习方法之一，认为学习就是学习者对自身内在预设自由调整、自觉试误、自我淘汰、自然推进的自主与互动过程。虽然前文课例中教师人为地设计了一条让学生思想不旁逸斜出的教学路径，但不等于说学生就没有疑惑了，一旦当学生独立面对问题时，认知的冲突就可能会爆发出来。

所以，“纸包不住火”，教师完全没有必要刻意回避学生学习中可能出现的问题，那种认为学生学习会先入为主发生错误的顾虑是多余的，因为刚开始的先入为主是不稳定的，还不是根深蒂固的，学生会随着认识的不断进步而自我调正或自我纠正。上述课例中，教师只要引导学生抓住知识的本质，根据现阶段分数的意义来思考问题，也就是看份数而不是看个数，学生也就能够自己来排除干扰，从纷繁的信息中找到知识的正道。从这一点上看，学生的出错是一种很好的教学资源，足以引起学生的注意和引发学生的思考。此时，学生经历出错的学习过程，对知识的印象将会变得更加深刻，对知识的理解也将会变得更加深入，也就会产生“再也不会忘记怎样开门了”的良好效果。

要体察到分数量与率的区别，是学生学习的难点，需要教师有意识地进行设计。其中，设计比较情景可以加深学生的理解。例如，在前文课例教学后，我们不妨翻出该课例的“前身”——三年级上册“分数的认识”的教材例题的情景图（如下图），从图中可以发现“把4只苹果平均分成2份，把2瓶矿泉水平均分成2份，把1个蛋糕平均分成2份”都可以用分数表示，它们都表示一个整体的，这样就可以实现两节课的前后呼应，让学生用学到的新知识重新研究老情景，同一情景两种解读，这样的比较可以加深学生对分数的认识——分数既可以表示具体数量，又可以表示两者关系。

此外，教师害怕学生出错的心理，同样会导致学生害怕出错的心理，学习由此变得谨小慎微，遇事缩手缩脚和做事束手束脚，这正是学习创新的大忌。作家叶倾城在一篇文章中写道：“恕我恭喜你：恭喜进入真实世界，恭喜你从此拥有了犯错误的机会——我们都是这样错了又错，才长大的。”在教学中，教师应该给学生犯错误的机会，让学生在错了又错——但不是错了再错的犯老毛病——中长大，这才是真实的教学。

（江苏省无锡市羊尖实验小学 214107

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）endprint

另外，为了使学生的思维能够更加深刻，除了像教材那样从例题到“想一想”习题中采用的“物体总数不变而改变份数”的做法，我们还可以采用“份数不变而改变物体总数”的方法，以突出每份中具体数量的变化，引导学生在变与不变中、在抗干扰中抓住知识的本质。

综上所述，出错并不可怕。笔者就曾经看到这样一个故事：一位女士去美国老师家做客，看见3岁的孩子正在用钥匙笨拙地开卧室的门，可是由于角度不对，怎么也打不开。正当她要帮助他的时候被老师阻止了：“不要去打扰他，让他自己先犯些‘错误吧，试一会儿总能把门打开的，这样他就再也不会忘记怎样开门了！”

在实际教学中，大多是教师在害怕学生出错，他们没有意识到学生的出错在教学中的价值，认为错误可能会造成学生的先入为主，此后扭转学生的认识就会比较困难，于是就会像前文课例那样刻意地回避学生可能出错的知识原点，防止学生出错而干扰学生的正常学习。

其实，在教学中，知识之“门”应该由学生自己去尝试打开，在犯错中进步才是学生学习的正常状态，不犯错的学习反而是不正常的，也是不可能的。有人说“教室是学生出错的地方”，此言甚是。心理学家盖耶也说过：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将失去最富成效的学习时刻。”波普尔则把尝试和排除错误的方法看成是新的学习方法之一，认为学习就是学习者对自身内在预设自由调整、自觉试误、自我淘汰、自然推进的自主与互动过程。虽然前文课例中教师人为地设计了一条让学生思想不旁逸斜出的教学路径，但不等于说学生就没有疑惑了，一旦当学生独立面对问题时，认知的冲突就可能会爆发出来。

所以，“纸包不住火”，教师完全没有必要刻意回避学生学习中可能出现的问题，那种认为学生学习会先入为主发生错误的顾虑是多余的，因为刚开始的先入为主是不稳定的，还不是根深蒂固的，学生会随着认识的不断进步而自我调正或自我纠正。上述课例中，教师只要引导学生抓住知识的本质，根据现阶段分数的意义来思考问题，也就是看份数而不是看个数，学生也就能够自己来排除干扰，从纷繁的信息中找到知识的正道。从这一点上看，学生的出错是一种很好的教学资源，足以引起学生的注意和引发学生的思考。此时，学生经历出错的学习过程，对知识的印象将会变得更加深刻，对知识的理解也将会变得更加深入，也就会产生“再也不会忘记怎样开门了”的良好效果。

要体察到分数量与率的区别，是学生学习的难点，需要教师有意识地进行设计。其中，设计比较情景可以加深学生的理解。例如，在前文课例教学后，我们不妨翻出该课例的“前身”——三年级上册“分数的认识”的教材例题的情景图（如下图），从图中可以发现“把4只苹果平均分成2份，把2瓶矿泉水平均分成2份，把1个蛋糕平均分成2份”都可以用分数表示，它们都表示一个整体的，这样就可以实现两节课的前后呼应，让学生用学到的新知识重新研究老情景，同一情景两种解读，这样的比较可以加深学生对分数的认识——分数既可以表示具体数量，又可以表示两者关系。

此外，教师害怕学生出错的心理，同样会导致学生害怕出错的心理，学习由此变得谨小慎微，遇事缩手缩脚和做事束手束脚，这正是学习创新的大忌。作家叶倾城在一篇文章中写道：“恕我恭喜你：恭喜进入真实世界，恭喜你从此拥有了犯错误的机会——我们都是这样错了又错，才长大的。”在教学中，教师应该给学生犯错误的机会，让学生在错了又错——但不是错了再错的犯老毛病——中长大，这才是真实的教学。

（江苏省无锡市羊尖实验小学 214107

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另外，为了使学生的思维能够更加深刻，除了像教材那样从例题到“想一想”习题中采用的“物体总数不变而改变份数”的做法，我们还可以采用“份数不变而改变物体总数”的方法，以突出每份中具体数量的变化，引导学生在变与不变中、在抗干扰中抓住知识的本质。

综上所述，出错并不可怕。笔者就曾经看到这样一个故事：一位女士去美国老师家做客，看见3岁的孩子正在用钥匙笨拙地开卧室的门，可是由于角度不对，怎么也打不开。正当她要帮助他的时候被老师阻止了：“不要去打扰他，让他自己先犯些‘错误吧，试一会儿总能把门打开的，这样他就再也不会忘记怎样开门了！”

在实际教学中，大多是教师在害怕学生出错，他们没有意识到学生的出错在教学中的价值，认为错误可能会造成学生的先入为主，此后扭转学生的认识就会比较困难，于是就会像前文课例那样刻意地回避学生可能出错的知识原点，防止学生出错而干扰学生的正常学习。

其实，在教学中，知识之“门”应该由学生自己去尝试打开，在犯错中进步才是学生学习的正常状态，不犯错的学习反而是不正常的，也是不可能的。有人说“教室是学生出错的地方”，此言甚是。心理学家盖耶也说过：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将失去最富成效的学习时刻。”波普尔则把尝试和排除错误的方法看成是新的学习方法之一，认为学习就是学习者对自身内在预设自由调整、自觉试误、自我淘汰、自然推进的自主与互动过程。虽然前文课例中教师人为地设计了一条让学生思想不旁逸斜出的教学路径，但不等于说学生就没有疑惑了，一旦当学生独立面对问题时，认知的冲突就可能会爆发出来。

所以，“纸包不住火”，教师完全没有必要刻意回避学生学习中可能出现的问题，那种认为学生学习会先入为主发生错误的顾虑是多余的，因为刚开始的先入为主是不稳定的，还不是根深蒂固的，学生会随着认识的不断进步而自我调正或自我纠正。上述课例中，教师只要引导学生抓住知识的本质，根据现阶段分数的意义来思考问题，也就是看份数而不是看个数，学生也就能够自己来排除干扰，从纷繁的信息中找到知识的正道。从这一点上看，学生的出错是一种很好的教学资源，足以引起学生的注意和引发学生的思考。此时，学生经历出错的学习过程，对知识的印象将会变得更加深刻，对知识的理解也将会变得更加深入，也就会产生“再也不会忘记怎样开门了”的良好效果。

要体察到分数量与率的区别，是学生学习的难点，需要教师有意识地进行设计。其中，设计比较情景可以加深学生的理解。例如，在前文课例教学后，我们不妨翻出该课例的“前身”——三年级上册“分数的认识”的教材例题的情景图（如下图），从图中可以发现“把4只苹果平均分成2份，把2瓶矿泉水平均分成2份，把1个蛋糕平均分成2份”都可以用分数表示，它们都表示一个整体的，这样就可以实现两节课的前后呼应，让学生用学到的新知识重新研究老情景，同一情景两种解读，这样的比较可以加深学生对分数的认识——分数既可以表示具体数量，又可以表示两者关系。

此外，教师害怕学生出错的心理，同样会导致学生害怕出错的心理，学习由此变得谨小慎微，遇事缩手缩脚和做事束手束脚，这正是学习创新的大忌。作家叶倾城在一篇文章中写道：“恕我恭喜你：恭喜进入真实世界，恭喜你从此拥有了犯错误的机会——我们都是这样错了又错，才长大的。”在教学中，教师应该给学生犯错误的机会，让学生在错了又错——但不是错了再错的犯老毛病——中长大，这才是真实的教学。

（江苏省无锡市羊尖实验小学 214107

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