“变教为学”的文化性

一、数学教学的文化性

这里所说的“文化性”是相对于“工具性”而言的。长期以来数学教学的传统，是把数学知识和方法视为数学家制作完成，留待后人学习使用的工具。对于“工具”的使用追求的是正确和熟练。为了让学生能够正确并且熟练地掌握“工具”的使用，课程内容力图做到“模式化”和“程序化”。因此使得数学课程内容缺少了知识发生与发展的“过程性”、可以这样还可以那样的“多样性”以及前人创造知识和方法的“人文性”。

依据这种模式化和程序化的课程内容，教师的教法往往是要求学生“认真听讲”，追求自身的“讲解清晰”，把“讲”等同于“教”，失去了知其然还要知其所以然的“启发性”、教无定法的“多元性”以及因材施教的“针对性”。在此基础上，学生的学法成为了单一的倾听、模仿与练习，追求的学习效果是“又对又快”。缺失了体验知识发生与发展的思考过程，缺失了自然、自由、自主的思考与交流。[1]凡此也就使得数学教学的过程缺失了“文化性（Cultural）”，进而使得数学教学的“育人”功能打了折扣。

数学教育中引入“数学文化”这一说法，实质上就是试图改变对数学教学单一的“工具性”认识，让数学课程与教学呈现出“文化性”。“数学文化”是一个异常宽泛的概念，对它的理解多种多样。在我国数学教育领域通常是把历史上的数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想作为区别于工具性知识的数学文化。[2]

事实上，“文化”的本质是“人化”，是人或者人与人之间、人与自然之间关系的产物。凡是呈现出与人的情感、思维、行为、习惯等因素有关的事物或事件，都可以认为是具有文化性的。位于我国山东省泰安市的泰山号称“五岳”之首，其实论高度泰山并不算很高，论风景也并非最具特色的，之所以成为五岳之首，其原因就在于人的因素，古时皇帝祭天之所，使得泰山具有了独特、高尚的文化，正是这样的文化使得泰山具有了无与伦比的声誉。

数学教学的过程是由学生、教师和数学知识三个基本要素构成的，表现为教师与学生的“双边活动”。在“以教为主”[3]的课堂教学中，教师是学生与知识之间的媒介，教师通过备课把知识搞明白，而后通过讲解传授给学生。（见图1）

“变教为学”期望数学教学的过程成为学生、教师以及创造知识的前人的“三边互动”。学生学习的过程不单纯是倾听教师的讲解，更多的是与知识发明者之间的直接互动，经历知识发生与发展的过程，经历知识创造者的思考过程，体验创造知识的成功与失败，经历创造知识出现错误的过程，经历通过反思修正错误的过程。学习的过程不仅有吸收，而且伴随着主动发现与发明的过程。教师不单纯是知识的传授者，更多的作用是启发、鼓励、组织和帮助学生的学习。（见图2）

这样的数学教学不是将数学看作是现成的工具，教学的目的也不单纯是正确、熟练地使用这样的工具，而是将数学知识（包括方法）视为人类社会活动的产物，学生学习数学的过程实质上是经历这样的社会活动的过程，在这样的过程中获得多方面的经验，同时习得相关的数学知识。正是由于学生、教师和知识创造者在教学活动中各得其所，也就使得数学教学具有了所谓的文化性。

二、数学知识与人的活动

概括地说，“变教为学”的文化性主要体现于三个方面。从课程的角度说，是把数学知识呈现于人的社会活动中；从教师教的角度说，是通过布置学习任务使得学生自主或合作地经历这样的活动；[4]从学生学习的角度说，是通过活动提取、总结并评价相关的知识。这一切的核心是建立数学知识与人和人类活动的关系。

比如小学五年级课程内容中“因数”与“倍数”的概念。从数学的角度看，当数a被数b整除时，数b叫作数a的因数，同时数a叫作数b的倍数。举例说，因为60能被12整除，所以12是60的因数，同时60是12的倍数。如果对于因数与倍数的学习仅限于此，只能说是多知道了一点数学知识，而“多知道一点”或者“少知道一点”对一个人的发展来说并不是最重要的。重要的应当是体验到因数与倍数这样的数学知识与人的关系。

数学概念是人发明（Invention）出来的知识，人的任何发明活动一定是依据人的需要而进行的。学生如果仅仅从定义或实例中知道什么是因数和倍数，并没有体验到人是依据什么样的需要发明出这个概念。因此依据“变教为学”的文化性，首先应当把这样的概念融入到人的社会活动中。

比如在人类历史中，“12”可以说是极其特殊的数。可以随意列举出12在人类活动中的广泛应用，比如：

一年划分为12个月；

中国古时将一个昼夜划分为12个时辰；

中国传统文化中的12地支（子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）；

与12地支相对应的12生肖（鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪）；

英国1971年之前使用的钱币的换算关系为，1镑（Pound）等于12先令（Shilling）；

语言中“一打（英文为Dozen）”代表12个；

音乐中的12平均律，等等。

一个自然的问题是，12这个数为什么如此受人青睐？无独有偶，还可以发现许多12的倍数也有着广泛应用，比如：

一昼夜分为24个小时；

中国传统中一年有24个节气；

一个小时等于60分钟；

历史名著《西游记》中孙悟空能够72变；

《水浒传》中有一百单八（108）将；

圆周角划分为360度，等等。

其中24是12的2倍，60是12的5倍，72是12的6倍，108是12的9倍，360是12的30倍。凡此都说明12这个数一定有其特殊之处。

考查一下能够整除12的几个数（不包括12本身）的和，也就是12的全部真因数之和，可以发现：

1+2+3+4+6=16

这个和16比12本身要大。选择其他数看看，比如能够整除8的全部真因数之和为（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因数之和为（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12这样的数之所以应用广泛，一个可能的原因就在于其自身因数个数多，并且因数之和相对于自身来说比较大。古希腊时期人们把像12这样的数称为“富裕数（Abundant Number）”。在此基础上，人们还发现“富裕数”的倍数仍然是富裕数，这也就说明了为什么12的倍数也有广泛的应用。比如在100以内60是因数个数最多的数中最小的一个，一共有12个因数，分别是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此规定1小时等于60分钟，就可以使得把1小时平均分后所对应的分钟数是整数的情况最多。（见图3）

对比两种情况就可以发现，规定1小时等于60分钟的优势就是将1小时平分后，所得到的分钟数是整数的情况在100以内是最多的。其原因就在于60的因数个数在100以内是最多的。

三、数学知识与人的情感

在数学的发展历史中，一些数学知识的发生与发展并不是依赖于其实际应用，而是与人的情感因素密切相关的。在两千多年前的古希腊时期，毕达哥拉斯（Pythagoreans）学派把像6这样的所有真因数之和等于自身的数叫作“完美数（英译为Perfect Number）”，之后的尼克玛楚斯（希腊：Nicomachus，约公元60-120年）把像12这样的数，也就是所有真因数之和大于自身的数，叫作“富裕数”，像8这样的全部真因数之和小于自身的数，叫作“贫穷数（英译为Deficient Number）”。[5]根据这三种数的特点，把“数”与神话中的“神”作类比。像6这样的完美数类比为爱与美的女神维纳斯（英译为Venus）；像12这样的富裕数类比为百手巨人布里亚柔斯（英译为Briareus或Aegaeon）；像8这样的贫穷数类比为独眼巨人库克洛普斯（英译为Cyclops）。

人们还发现，完美数的倍数一定是富裕数，比如完美数6的2倍12是富裕数，6的3倍18也是富裕数。另外一个发现是，完美数的真因数一定是贫穷数，比如完美数6的真因数分别是1、2、3，这三个数都是贫穷数。100以内另外一个完美数是28，它的2倍是56，是一个富裕数。28的真因数分别为1、2、4、7、14，这些数都是贫穷数。

古希腊人把这样的关系与人类社会中的人或事物作类比，如果把“富裕”和“贫穷”都看作不好的，视为“坏（Evil）”，把“完美”视为“好（Good）”的，把因数与倍数视为“对立（Opposed）”的关系。那么就可以发现，“好”与“好”永远不会对立；“好”与“坏”必然对立；“坏”与“坏”可能对立。“好”是极少的，就像100以内只有两个完美数（6和28），而“坏”是大量存在并且形式多样的。“好”永远是“过分（Excess）”与“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

举例来说，“谨小慎微（Timidity）”是一种勇气缺失的表现，而“胆大妄为（Audacity）”又显过分鲁莽，二者平均后如果是“智勇双全（Fortitude）”就认为是一种完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化与智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是过分聪明，二者平均成为做事“审慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，数学中因数与倍数的概念蕴含着丰富的人文因素。“变教为学”的数学教学并不是期望教师在课堂上讲解这样的内容，而是期望通过教师的引导，让学生经历此类问题的思考过程，在这样的过程中经历、体验并生成更多的与自身思维、情感和经验有关的内容。这样的过程就彰显出数学教学的文化性了。

参考文献

[1]郜舒竹. “变教为学”需要“自然、自由、自主”的课堂氛围[J]. 教学月刊小学版（数学），2014（6）.

[2]徐乃楠，王宪昌. 数学文化热与数学文化史研究[J]. 自然辩证法通讯， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “变教为学”从哪做起[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都师范大学初等教育学院 100048）

这个和16比12本身要大。选择其他数看看，比如能够整除8的全部真因数之和为（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因数之和为（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12这样的数之所以应用广泛，一个可能的原因就在于其自身因数个数多，并且因数之和相对于自身来说比较大。古希腊时期人们把像12这样的数称为“富裕数（Abundant Number）”。在此基础上，人们还发现“富裕数”的倍数仍然是富裕数，这也就说明了为什么12的倍数也有广泛的应用。比如在100以内60是因数个数最多的数中最小的一个，一共有12个因数，分别是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此规定1小时等于60分钟，就可以使得把1小时平均分后所对应的分钟数是整数的情况最多。（见图3）

对比两种情况就可以发现，规定1小时等于60分钟的优势就是将1小时平分后，所得到的分钟数是整数的情况在100以内是最多的。其原因就在于60的因数个数在100以内是最多的。

三、数学知识与人的情感

在数学的发展历史中，一些数学知识的发生与发展并不是依赖于其实际应用，而是与人的情感因素密切相关的。在两千多年前的古希腊时期，毕达哥拉斯（Pythagoreans）学派把像6这样的所有真因数之和等于自身的数叫作“完美数（英译为Perfect Number）”，之后的尼克玛楚斯（希腊：Nicomachus，约公元60-120年）把像12这样的数，也就是所有真因数之和大于自身的数，叫作“富裕数”，像8这样的全部真因数之和小于自身的数，叫作“贫穷数（英译为Deficient Number）”。[5]根据这三种数的特点，把“数”与神话中的“神”作类比。像6这样的完美数类比为爱与美的女神维纳斯（英译为Venus）；像12这样的富裕数类比为百手巨人布里亚柔斯（英译为Briareus或Aegaeon）；像8这样的贫穷数类比为独眼巨人库克洛普斯（英译为Cyclops）。

人们还发现，完美数的倍数一定是富裕数，比如完美数6的2倍12是富裕数，6的3倍18也是富裕数。另外一个发现是，完美数的真因数一定是贫穷数，比如完美数6的真因数分别是1、2、3，这三个数都是贫穷数。100以内另外一个完美数是28，它的2倍是56，是一个富裕数。28的真因数分别为1、2、4、7、14，这些数都是贫穷数。

古希腊人把这样的关系与人类社会中的人或事物作类比，如果把“富裕”和“贫穷”都看作不好的，视为“坏（Evil）”，把“完美”视为“好（Good）”的，把因数与倍数视为“对立（Opposed）”的关系。那么就可以发现，“好”与“好”永远不会对立；“好”与“坏”必然对立；“坏”与“坏”可能对立。“好”是极少的，就像100以内只有两个完美数（6和28），而“坏”是大量存在并且形式多样的。“好”永远是“过分（Excess）”与“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

举例来说，“谨小慎微（Timidity）”是一种勇气缺失的表现，而“胆大妄为（Audacity）”又显过分鲁莽，二者平均后如果是“智勇双全（Fortitude）”就认为是一种完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化与智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是过分聪明，二者平均成为做事“审慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，数学中因数与倍数的概念蕴含着丰富的人文因素。“变教为学”的数学教学并不是期望教师在课堂上讲解这样的内容，而是期望通过教师的引导，让学生经历此类问题的思考过程，在这样的过程中经历、体验并生成更多的与自身思维、情感和经验有关的内容。这样的过程就彰显出数学教学的文化性了。

参考文献

[1]郜舒竹. “变教为学”需要“自然、自由、自主”的课堂氛围[J]. 教学月刊小学版（数学），2014（6）.

[2]徐乃楠，王宪昌. 数学文化热与数学文化史研究[J]. 自然辩证法通讯， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “变教为学”从哪做起[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都师范大学初等教育学院 100048）

这个和16比12本身要大。选择其他数看看，比如能够整除8的全部真因数之和为（1+2+4=）7，比8本身要小。6的全部真因数之和为（1+2+3=）6，恰好等于6本身。

因此，像12这样的数之所以应用广泛，一个可能的原因就在于其自身因数个数多，并且因数之和相对于自身来说比较大。古希腊时期人们把像12这样的数称为“富裕数（Abundant Number）”。在此基础上，人们还发现“富裕数”的倍数仍然是富裕数，这也就说明了为什么12的倍数也有广泛的应用。比如在100以内60是因数个数最多的数中最小的一个，一共有12个因数，分别是：

1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60

因此规定1小时等于60分钟，就可以使得把1小时平均分后所对应的分钟数是整数的情况最多。（见图3）

对比两种情况就可以发现，规定1小时等于60分钟的优势就是将1小时平分后，所得到的分钟数是整数的情况在100以内是最多的。其原因就在于60的因数个数在100以内是最多的。

三、数学知识与人的情感

在数学的发展历史中，一些数学知识的发生与发展并不是依赖于其实际应用，而是与人的情感因素密切相关的。在两千多年前的古希腊时期，毕达哥拉斯（Pythagoreans）学派把像6这样的所有真因数之和等于自身的数叫作“完美数（英译为Perfect Number）”，之后的尼克玛楚斯（希腊：Nicomachus，约公元60-120年）把像12这样的数，也就是所有真因数之和大于自身的数，叫作“富裕数”，像8这样的全部真因数之和小于自身的数，叫作“贫穷数（英译为Deficient Number）”。[5]根据这三种数的特点，把“数”与神话中的“神”作类比。像6这样的完美数类比为爱与美的女神维纳斯（英译为Venus）；像12这样的富裕数类比为百手巨人布里亚柔斯（英译为Briareus或Aegaeon）；像8这样的贫穷数类比为独眼巨人库克洛普斯（英译为Cyclops）。

人们还发现，完美数的倍数一定是富裕数，比如完美数6的2倍12是富裕数，6的3倍18也是富裕数。另外一个发现是，完美数的真因数一定是贫穷数，比如完美数6的真因数分别是1、2、3，这三个数都是贫穷数。100以内另外一个完美数是28，它的2倍是56，是一个富裕数。28的真因数分别为1、2、4、7、14，这些数都是贫穷数。

古希腊人把这样的关系与人类社会中的人或事物作类比，如果把“富裕”和“贫穷”都看作不好的，视为“坏（Evil）”，把“完美”视为“好（Good）”的，把因数与倍数视为“对立（Opposed）”的关系。那么就可以发现，“好”与“好”永远不会对立；“好”与“坏”必然对立；“坏”与“坏”可能对立。“好”是极少的，就像100以内只有两个完美数（6和28），而“坏”是大量存在并且形式多样的。“好”永远是“过分（Excess）”与“缺失（Defect）”的“平均（Media）”。

举例来说，“谨小慎微（Timidity）”是一种勇气缺失的表现，而“胆大妄为（Audacity）”又显过分鲁莽，二者平均后如果是“智勇双全（Fortitude）”就认为是一种完美。再比如，“愚昧（Fatuity）”可以看作是文化与智慧的缺失，而“狡猾（Crafty）”又似乎是过分聪明，二者平均成为做事“审慎（Prudence）”就是最完美的。[6]凡此可以看出，数学中因数与倍数的概念蕴含着丰富的人文因素。“变教为学”的数学教学并不是期望教师在课堂上讲解这样的内容，而是期望通过教师的引导，让学生经历此类问题的思考过程，在这样的过程中经历、体验并生成更多的与自身思维、情感和经验有关的内容。这样的过程就彰显出数学教学的文化性了。

参考文献

[1]郜舒竹. “变教为学”需要“自然、自由、自主”的课堂氛围[J]. 教学月刊小学版（数学），2014（6）.

[2]徐乃楠，王宪昌. 数学文化热与数学文化史研究[J]. 自然辩证法通讯， 2009（3）.

[3]郜舒竹. “变教为学”从哪做起[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（9）.

[4]郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（1）.

[5] L. E. Dickson . Perfect and Amicable Numbers[J] . The Scientific Monthly，1921（4）：349-354.

[6] Thomas Taylor. Theoretical Arithmetic[M]. London： NO.9， Man or Place， Walworth， By Valpy， Tookes Court， Chancery， Lane. P29.

（首都师范大学初等教育学院 100048）