“倍数和因数”教学设计及反思

于道莉

教学内容

北师大版小学数学五年级上册第三单元“倍数与因数”

教学目标

1.结合具体情境，认识倍数和因数。

2.体会倍数和因数之间的关系。

3.学生积极参与数学学习活动，初步养成乐于思考的良好品质。

教学重点

认识倍数和因数，并能结合算式判断倍数和因数。

教学难点

理解倍数和因数的意义。

教学过程

一、图式结合，认识倍数和因数。

运动会上体操队和田径队分别排出下面两种队形，算一算两队各有多少人？

1.体操队

先看体操队，同学们列出的算式是3×4=12，我们就说12是3的倍数，3是12的因数。这节课我们来学习“倍数和因数”。

你能根据已有经验，结合图和算式来说说怎样理解12是3的倍数吗？

如果12是3的倍数，我们就说3是12的因数。

12和4之间有这样的关系吗？说说你是怎么想的。

12是4的倍数，4是12的因数。

2.田徑队

再看田径队，你能根据24×2=48说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？

48是24的倍数，24是48的因数。48是2的倍数，2是48的因数。

3. 两个算式比较，理解倍数和因数的相互依存关系

3 × 4 = 12 24 × 2 = 48

乘数 乘数 积 乘数 乘数 积

通过今天的学习你觉得乘数、乘数和积可能有什么新名称吗？

3 × 4 = 12 24 × 2 = 48

因数 因数 倍数？ 因数 因数 倍数？

提出问题：12到底是倍数还是因数？

追问：12是谁的倍数？12是谁的因数？

小结：看来12既不能单独称为倍数，也不能单独称为因数。但它和3、4或者2、6等数字在一起的时候就是倍数，它和24、36、48等数字在一起的时候又成了因数。看来倍数和因数是一对相互依存的好朋友，我们一定要说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数。

乘数还可以叫做因数，积却不能单独称为倍数。

3 × 4 = 12 24 × 2 = 48

因数 因数 积 因数 因数 积

二、结合算式，理解倍数和因数

我们已经认识了倍数和因数，请你写2个算式，然后再写出哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。第一个算式可以仿照刚才的乘法算式写，第二个算式看它能不能写出不一样的，但依然有倍数和因数关系？

学习单

算式

（ ）是（ ）的倍数 （ ）是（ ）的因数

（ ）是（ ）的倍数 （ ）是（ ）的因数

算式

（ ）是（ ）的倍数 （ ）是（ ）的因数

（ ）是（ ）的倍数 （ ）是（ ）的因数

挑选部分算式写到黑板上。

1.乘法算式中的倍数和因数

观察黑板上的乘法算式，你能说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？

2.除法算式中的倍数和因数

根据学生写的除法算式，例如36÷4=9，说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

你是怎么想的？

方法一：36÷4=9表示36是4的9倍，所以36是4的倍数，4是36的因数。

方法二：把36÷4=9转化成乘法4×9=36

36是4的倍数，4是36的因数；36是9的倍数，9是36的因数。

教师写除法算式：17÷5=3……2，这个算式里有因数和倍数关系吗？

关于倍数和因数，还有想问的问题吗？

学生提问：

10÷4=2.5，这个算式中可以说10是4的2.5倍吗？

0÷5=0或者0×0=0，这里有倍数和因数关系吗？

3.用字母表示倍数和因数

刚才同学们还写了很多算式，我们不能一一展示，现在，你能用2个式子表示所有的乘法算式和除法算式吗？

a × b = c c ÷a = b

哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数？

c是a和b的倍数，a和b是c的因数。

a ， b ， c 能表示哪些数？

在学生猜测的基础上告诉学生，在认识倍数和因数时为了方便“我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。”

现在你能回答刚才提出的问题了吗？

10÷4=2.5，这个算式中可以说10是4的2.5倍吗？

0÷5=0或者0×0=0，这里有倍数和因数关系吗？

4.快速辨析

你能在这些算式里快速找到有因数和倍数关系的式子吗？

9×1=9 5×5=25 3×1.2=3.6

35÷35=1 0÷9=0 21÷5=4……1

三、数字游戏，寻找倍数和因数

帮数字宝宝找朋友。

1.找8的倍数和因数

我是8，我的倍数在哪里？

每个学生有一张数字卡片，是1-53中的一个数字，如果你卡片上的数字是8的倍数，请你边说“你的倍数在这里”边走到前面来。

我是8，我的因数在哪里？

为什么8又是我的倍数，又是我的因数？

2.找1的倍数和因数

如果我想和全班同学做朋友，应该是数字几呢？

我是1，我的因数在哪里？我的倍数在哪里？

四.全课回顾，总结倍数和因数

通过这节课的学习，能介绍一下倍数和因数吗？

教学反思

倍数和因数在北师大版教材中是五年级上册的内容，教材结合排队的情境，联系乘法认识倍数和因数，在此之前学生已经在二年级认识过“倍”，知道“求一个数是另一个数的几倍”用除法计算，“求一个数的几倍是多少”用乘法计算。可见“倍”对学生来说并不是一个新的概念，那么这节课学习的“倍数”与以前学生认识的“倍”有什么联系和区别？如何让学生结合已有“倍”的经验来进一步理解本节课的倍数和因数？倍数和因数之间有怎样的内在联系？基于以上三点思考，我把本节课的教学重点放在“结合已有“倍”的经验进一步理解本节课的倍数和因数”，教学难点放在“怎样理解倍数和因数相互依存的关系”上。

1.“倍数和因数”与以前学习的“倍的认识”有什么联系和区别

二年级学习的“倍的认识”是结合具体情境理解两个数量之间的倍数关系，而五年级的“倍数和因数”则侧重于理解两个数字之间的倍数和因数关系，实际上是对“倍数”关系的一种抽象化过程。所以二年级“倍的认识”是本节课的学习基础，而本节课“倍数和因数”是对“倍”的进一步理解及抽象和提升。

2.怎样结合已有“倍”的经验来进一步理解本节课的“倍数和因数”

本节课我通过运动会中体操队和田径队有多少人导入新课，学生用乘法算式求出两个队分别有多少人后，我直接聚焦求体操队人数的算式3×4=12，引出“12是3的倍数，3是12的因数”这一组倍、因关系，同时提问：你能根据已有经验，并结合图和算式说说怎样理解“12是3的倍数”吗？学生说出了“把3个人看作一组，有这样的4组，所以12是3的倍数”；“竖着看3个人是1倍，3的4倍刚好是12，12是3的倍数”；“一列有3个人，4列是12个人，所以12是3的倍数”等不同想法，而这些想法正是基于学生对倍的已有经验，在此基础上教师引出本节课的倍数和因数概念“如果12是3的倍数，我们就说3是12的因数”，同时问学生“12和4之间有这样的倍数和因数关系吗？说说你是怎么想的”，帮助学生进一步建立倍数和因数的概念。在这里我和北师大教材的处理方式有些不同，教材是在学生列出乘法算式后直接呈现“12是3和4的倍数，3和4是12的因数”，而在实际教学中我发现如果把两个因数同时呈现给学生，对学习能力较弱的孩子会产生一定的困扰，有部分学生直到整节课结束时依然难以理解倍数和因数的对应关系。其实倍数和因数最基础的关系是建立在两个数字之间的，如果学生对两个数的倍、因关系理解的非常透彻，再去理解算式中积和两个因数甚至多个因数之间的倍、因关系就會有事半功倍的效果。所以本节课的学习我把重点放在结合已有经验理解两个数的倍数关系上，理解了倍数关系后与之对应的就是因数关系，这样设计学生更容易理解倍数和因数概念的本质特征，也更符合五年级孩子的认知特点。

3.倍数和因数之间有怎样的内在联系

通过前面的学习，学生已经知道甲数是乙数的倍数，乙数就是甲数的因数，但对倍数和因数的相互依存关系理解还不够深刻，怎样做能让学生自己发现倍数和因数不能独立存在，它们是相互依存的关系呢？我在导入环节就设下了伏笔，将体操队的人数设置为3×4=12，田径队的人数设置为2×12=24，在认识了倍数和因数后学生发现12在第一个算式中是倍数，在第二个算式中是因数，通过讨论“12到底是倍数还是因数”这一问题，学生发现单独一个数字既不能称为倍数，也不能称为因数，当12和3、4或者2、6又或者1、12在一起的时候是倍数，而12和24、36、48等数在一起的时候它又变成了因数。这一环节不仅让学生感受到倍数和因数相互依存的关系，而且为后面学习找倍数和找因数做好了铺垫。

除了以上三个问题，教材中还有一个问题是我一直在思考的，也是学生在课堂上主动提出的问题：“10÷4=2.5，能说10是4的2.5倍吗？”平时我们是可以这样说的，教材中为什么规定“我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数”呢？课堂上我把10÷4=2.5变成10÷4=2……2，让学生讨论10是否是4的倍数，学生会觉得这个时候10不是4的倍数，从而引发思维矛盾，在10÷4=2.5中10是4的倍数，在10÷4=2……2中10不是4的倍数，这不符合数学的“统一性”原则，所以10不是4的倍数，在此基础上引出教材的规定“我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数”学生就比较容易理解和接受。倍数和因数是学习公倍数和公因数的基础，而公倍数和公因数在分数四则运算中对通分和约分又有重要意义，我们知道通分和约分都必须用整数，不能用小数和分数，所以倍数和因数只在自然数（0除外）范围内研究就非常必要了。