高考数学使用计算器的争鸣及思考

张阳开，梁策力，陈朝东

（1.西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2.西南大学 教育学部，重庆 400715）

争鸣指因观点不同在政治或学术等问题上展开激烈辩论.它既包括观点上的对立、认识上的分歧，也包括实践中的反复[1].1997年发生的加州数学战争中就存在许多争鸣，例如，计算器要不要引入学校数学，如果允许走进课堂，则何时引入等[2].中国数学教育发展中也存在许多争鸣问题[3～8].当前，高考数学（以下简称高考）能否使用计算器（科学型计算器）的问题，既是一个热点问题，也是一个争鸣问题.各省市对高考使用计算器的规定有所不同：大部分省市明确规定不允许携带计算器进入考场，如江苏、山西、河北、河南、云南、四川、山东、内蒙古等；有部分省市则规定高考可以使用计算器，如上海、湖北、陕西等.高考使用计算器对高考命题、教师的教和学生的学都会产生正反两方面的影响.因此，自2000年上海市规定高考可以使用计算器起，关于高考使用计算器的争鸣就一直不断，甚至愈演愈烈.基于文献综述和访谈发现，这一争鸣主要存在两种不同的认识倾向：一种认为高考不能使用计算器；另一种则认为高考可以使用计算器.

1 高考不能使用计算器

尽管部分省市已经明确提出高考可以使用计算器，但是反对的呼声仍然很高.2012年4月2日，《东方早报》谈到，高考命题专家袁小平在“新民晚报上海高考论坛”上呼吁“上海高考数学应取消计算器题”[9].除此之外，还有许多专家、学者、一线教师持反对意见，他们主要出于以下考虑：

1.1 使用计算器会降低学生的运算能力

运算能力是中国传统三大数学能力之一.中国对运算能力的强调贯穿于数学课程设置、实施和评价的始终.长期以来，在中小学数学课程标准中，培养学生的运算能力都是一条重要的教学要求.数学双基教学也非常注重培养学生的运算速度，并得到了运算速度有益于高效思维的经验.数学考试，无论是小学、初中，还是高中，都强调对计算速度的考查.尤其是高考数学题量大，而考试时间短（只有两个小时），因此对计算速度的考查尤为突出.中国数学教育对学生运算能力的强调可见一斑.访谈发现，一些专家、学者认为，若高考允许使用计算器，学生将不再重视对一些基本知识的记忆，例如常见角的三角函数值.如此一来，势必会造成学生对计算器的依赖，最终将导致运算能力的下降，甚至是不再了解基本算理.有教研员提出，实行新课改后计算器进入中小学教学，进入中考考场，造成乌鲁木齐市首批使用计算器的高三学生运算能力弱，恐影响高考[10].

1.2 使用计算器后一些传统的计算型试题将被淘汰

高考允许使用计算器后，对于一些传统的数值计算题，学生只要会使用计算器就能解决，这些试题的难度被降低，同时，传统的解题思路遭到摒弃.原本这些试题欲考查的知识点得不到考查，由此，这部分试题便失去了意义，终将被淘汰.

例如，1998年高考题：下列关系式正确的是（ ）

此题原本欲考查的知识点是指数函数的单调性和相关指数函数图象的性质.计算器进入高考考场后，考生不再需要掌握这些知识点也能轻易求解.再如，1997年高考题：已知tg=，求sin(∂+的值.就此题来说，原本欲考查的知识点有：同角的三角函数关系、倍角的正弦和余弦公式、三角函数的诱导公式、二角和的正弦公式等.然而，利用计算器，考生完全可以绕开这些知识点，只需按若干下计算器按钮，就可直接求得结果[11].可见，计算器进入高考考场后，一些考查函数单调性、函数性质、三角函数基本公式等基础知识的传统计算题都将被淘汰.

1.3 使用计算器可能会引发考试作弊

人们常说，科学技术是一把双刃剑，它给人类带来福利的同时，也带来了一些麻烦，正如高考中的作弊问题.访谈发现，有部分高中一线教师认为，在科技发达的今天，如果允许考生将计算器带进考场，势必很难控制考场秩序，将会增加监考难度.因此他们认为，高考允许使用计算器可能会引发作弊，进而破坏考试公平、公正的原则，影响教育公平.虽然教育部、学校和社会都非常关注教育公平问题，采取了许多反作弊措施，例如，制订了惩处高考作弊者的法规.教育部最新颁布的《国家教育考试违规处理办法》规定，可视作弊情节的严重程度分别对高考作弊者给予惩处.情节特别严重的，可以给予暂停参加各种国家教育考试1至3年的处理[12].但是，尽管如此，高考作弊事件仍然是频频发生.鉴于此，部分高中教师反对高考使用计算器.

2 高考可以使用计算器

部分专家、学者、家长和学生认为，高考可以使用计算器，甚至是非常有必要使用计算器.有人质疑，现在已是信息时代，在数据处理时，谁不使用计算器？如果高考考试内容仍需死记硬背，以手工计算为主是否适宜？另外，还有张奠宙先生[13]等数学教育家也支持高考使用计算器.总结起来，支持者主要持以下几类观点.

2.1 使用计算器可使高考试题更贴近现实

弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，应用于现实[14].数学教育不仅要教现实的数学，而且还要考现实的数学.这不仅能让学生了解数学的应用价值、树立正确的数学观，而且还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的意识，培养问题解决的能力.然而，由于现实中的数学问题往往涉及许多复杂的数据、繁琐的计算以及高考考试时间限制等原因，高考试题总是远离实际，即便试题中的背景是现实的，试题中的数据也是“精心设计”的，是“规范”的.例如，在解三角形的高考试题中所求的角往往都是、、等特殊值.这会使学生认为数学都是数学家“想”出来的，学习数学就是为了解决“数学题”，不利于培养正确的数学观.基于此，高考应该允许使用计算器.这样一来，高考试题不仅可以具有现实生活背景，还可以出现现实生活中的数据，出现“现实的数学”，使高考题目更加贴近现实.

2.2 使用计算器有助于学生更充分地思考试题

高考数学题量大，但考试时间短.考生需要花大量时间用于计算，因此就缺少时间对考题充分进行思考，甚至不能做完所有的题目.2009年6月8日，《南国都市报》谈到，有考生质疑：“高考中的很多试题，我明明知道解题方法，可因为把大量时间浪费在了繁琐的运算上，导致很多题不是不会做，而是来不及做.如果有计算器帮忙，答题速度会快得多.”[15]对于数学的基本运算，如四则运算、乘方和开方运算、指数和对数运算、角度和弧度的互化、三角函数求值运算等，都可以运用计算器来计算.因此，若高考允许使用计算器，利用计算器运算快速、准确的特点，学生既可以摆脱繁重的数值计算、避免错误，又可以节约时间，将更多时间用于思考试题，更充分地理解题意.

2.3 使用计算器有助于学生更好地掌握使用计算器的技能

计算器的使用，可以给生活带来方便，可以提高工作效率.使用计算器是学生从小就需要掌握的基本技能.中国数学教育越来越重视计算器在数学课程中的应用.从建国以来历次颁布的小学数学课程标准（教学大纲）可以看出，作为现代计算工具，计算器正在逐步取代筹算、算盘等传统计算工具，登上小学数学课程的舞台.如今，可以毫不夸张地说，计算器的使用是现代社会每个公民必备的基本技能之一.尤其是对于工科、理科专业的大学生来说，在专业知识学习和考试过程中，都离不开计算器.但是，受传统文化影响的中国学生实践动手能力一直被认为是弱项[16].然而，若把高考使用计算器作为一项基本要求，学生在平时的学习中就会重视计算器的操作技能，并且反复练习使用.进而获得熟练使用计算器这一基本动作技能，增强实践动手能力.

2.4 使用计算器有助于学生更好地掌握数学的基本知识

在使用计算器的过程中，学生可以经历实验、观察、发现和反思等数学活动，同时探索具体问题中的数量关系、变化规律等数学知识，这些过程可以加深他们对数学基本知识的理解，同时积累数学活动经验.例如，在作指数函数和对数函数的图象时，学生可以使用计算器计算出非整数指数幂，然后列表、描点、画出图象.在计算的过程中，学生可以观察和猜想函数的单调性并验证，发展合情推理能力.这个过程可以加深学生对不同底数的指数函数、对数函数单调性的认识，进而牢固地掌握这些知识.再如，经历计算器产生随机数的过程，学生可以更加深刻地理解随机事件、随机变量等概念；在统计该过程中某个数字出现的次数时，学生能够深刻地理解概率的基本概念.

2.5 使用计算器有助于教师转变教学观念

中国传统的数学教学往往是“掐头去尾烧中段”，教学中忽视了数学概念的获得及数学应用的过程.高考允许使用计算器后将有助于教师转变这一观念.现以上海市为例来说明这一点.自上海高考允许使用计算器以来，上海高考命题组在以能力立意的思想指导下进行了许多有意义的尝试，大胆地把计算器的使用融入试题中，使高考试卷呈现许多喜人的面貌，如对探究能力的考查更加具体生动、新编应用问题更加趋近实际等[17].可见，高考允许使用计算器后，将会给高考试题的命制带来很大的变化.考查探究能力的试题非常注重学生对陌生概念的习得与理解，这会让教师关注数学概念教学，注重学生获得数学概念的过程.而应用题则趋近实际，强调数学的应用，促进教师关注数学在实际中的应用，重视学生数学应用意识的形成和应用能力的培养.

3 对高考使用计算器的思考

关于高考能否使用计算器的争鸣，应该鼓励，而不应回避.争鸣往往使真理越辩越明，使争论的孰是孰非越来越清楚；争鸣往往能够推动学科的发展.数学教育争鸣则是推动数学教育科学发展的强大动力.在综合考虑争论双方观点的基础上，研究者认为，计算器进入考场是社会发展的必然趋势，高考不仅不应禁止使用计算器，而且还应该倡导.下面从高考使用计算器的必要性和反对观点的再思考两方面来说明这一点.

3.1 高考使用计算器的必要性

除了认同上述支持在高考中使用计算器的理由外，研究者还将从《普通高中数学课程标准（实验稿）》[18]（以下简称《高中课标》）对高中数学课程使用计算器的要求和高中数学教材使用计算器的现状两个方面来进一步说明高考使用计算器的必要性.

3.1.1 《高中课标》对高中数学课程使用计算器的要求

随着计算机技术的迅猛发展，数学技术进入数学课程在21世纪将是国际趋势，世界各国正纷纷为此作准备[19]，中国也不例外.统计分析发现，《高中课标》非常重视在数学课程中运用计算器.《高中课标》中关于“计算器”的表述一共有15处，如表1所示.可以看出，《高中课标》在以下3个板块中对计算器的使用提出了建议或要求：第一、前言的课程基本理念部分.《高中课标》把“注重信息技术与数学课程的整合”作为高中课程的基本理念之一，并指出，要“尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合”，“鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现”.第二、内容标准部分.无论是必修部分还是选修部分，《高中课标》都强调使用计算器.例如，《高中课标》在数学1中的对数函数一节，提出了“能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象”的教学要求.第三、实施建议部分.对于计算器的使用，《高中课标》在教学、评价、教材编写方面都给出了定位.例如，在教材编写建议中指出，“提倡使用计算器或计算机”.由表1还可以看出，《高中课标》对高中课程中的计算器使用有两个层次的要求.第一个层次的要求是教师应鼓励学生使用计算器，例如，《高中课标》在教学建议中指出，教师“应鼓励学生使用计算机、计算器等工具”.第二层次的要求是学生要能使用计算器.例如，《高中标准》在数学1中的函数与方程一节，提出了“能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象”的教学要求.《高中课标》对计算器的使用提出了很高的要求，若在高考这一重要评价中不允许使用，这岂不是自相矛盾？因此，研究者认为在高考中应该要使用计算器.

表1 《高中课标》中有关计算器的表述

3.1.2 高中数学教材使用计算器的现状

考虑到使用的广泛性和普遍性，文章以人教A版高中数学教材必修1—5（以下简称高中教材）[20]为研究对象，统计分析高中数学教材关于计算器使用的现状.结果发现，高中教材总体上非常重视计算器的使用.具体来说，高中教材中关于计算器的使用有以下几方面的特点：第一、使用的频次多，一共有77次.第二、涉及的知识领域广，包括函数、几何和概率统计三大领域，在各领域中的使用频次如表2所示.第三、涉及的板块多，包括习题、例题、探究、边框、小结、正文六大板块.计算器在各个板块中出现的频次如表3所示.在高中教材中，计算器主要出现在例题和习题中，用于辅助计算.

表2 计算器使用在各知识领域的分布

高中教材对计算器的使用要求和《课标》一致，都分为两个水平，第一个水平是可以使用计算器（25次）.第二个水平是需要使用计算器（52次）.众所周知，中国是一个考试大国，高考依旧在发挥其“指挥棒”作用，它往哪指，就往哪走，它考什么，就教什么.如若高考不允许使用计算器，高中教学可能就不再重视与计算器使用相关的数学知识.例如，函数与方程一节中有一处：借助计算器或者计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解.教学中将不教授用二分法求方程近似解这一知识点，最终导致学生不了解用二分法求方程近似解的原理，更无法掌握这一求解方法.因此，从高中教材计算器使用的现状来看，高考中应该要使用计算器.

3.2 对反对观点的再思考

首先，有人担心高考使用计算器后一些传统的计算型试题将被淘汰.这种观点未免太过保守，随着时代的发展，一些旧的考题必将被新的考题所取代.这是数学教育、高考试题发展中的“物竞天择、适者生存”，属再正常不过的事情了.况且，还可以通过编写其它形式的考题来考查因计算器进入高考考场而被淘汰的试题欲考查的知识点.其次，有人担心高考使用计算器会降低学生的运算能力，反对高考使用计算器.这种担心是多余的.正如张奠宙先生所说：“正像发明了汽车不必担心人脚会退化一样，计算器是人脑的延长，只会提高人脑的效率，而不是相反.”“我有时在想，高科技在现今数学教育中的运用已相当深入，而我们仍固定人工计算，原地踏步不前，这似乎像当年用大刀长矛对付火炮火枪一样，虽然功夫了得，却仍然败下阵来.我们纵然可以拿数学奥林匹克冠军，到头来却在技术使用上落在后面，岂不是又要挨打？”[21]另外，“计算器和算筹、珠算盘一样，都属于计算工具，它们应该在不同历史时期发挥对数学及数学教育发展的推动作用.”[22]最后，有人担心高考使用计算器可能会引发作弊.这种担心就更没有必要了，因为可以通过一定的方式来防止作弊.防作弊的方法至少有以下3种：其一、可以像上海市一样，规定高考使用的计算器不能带有储存功能，计算器上面不能有涂抹的痕迹.其二、可以由学校统一发放高考使用的计算器.其三、可以通过屏蔽信号或其它高科技方式来防止作弊.

基于上述分析可以看出，高考不仅可以使用计算器，而且应该使用计算器.相应地，数学课堂教学也应重视计算器的应用.在美国，1987年以来，计算器成为了微积分教学的重要工具，由此引起了教学内容与方法的改革[23].这启迪中国数学课堂教学在应用计算器时，必须充分考虑计算器对数学学习内容和方式的影响[24].让计算器不仅成为学生的计算工具，也成为他们的学习工具，利用计算器来帮助理解和掌握数学知识.

教育信息化是教育现代化的根本要求，而计算器的使用则是教育信息化的基础.随着时代的进步，学生走上工作岗位后都需要使用计算器辅助运算.高考允许学生使用计算器，是信息时代的根本要求，是社会发展的必然趋势.

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