数学人类学：一个新的研究动向

张和平，徐晓光，罗永超

（凯里学院，贵州 凯里 556011）

数学人类学，是认知人类学的一个分支.国际人类学与民族学联合会（IUAES）下设有27个研究委员会（2004年），数学人类学委员会是其中之一[1].然而，在中国学术界却没有开展数学人类学研究.这里简述中国学者近几年来研究各民族数学文化的现状，分析当前对民族数学文化研究概念的纠结原因，引介欧美国家数学人类学研究理论，并介绍凯里学院研究团队从“民族数学”走向“数学人类学”的研究实践，以及对数学人类学研究工作的思考.

1 中国学者研究各民族数学文化的现状

关于中国少数民族数学文化，在20世纪90年代，就有周开瑞、吕传汉、代钦等教授分别对羌族、水族、蒙古族等作了积极的探索，并搜集得到一些成果.

内蒙古师范大学代钦教授研究蒙古族传统生活中的数学文化发现[2]，蒙古族传统建筑——蒙古包具有黄金比例（即约为0.618）结构.哈那高与椽子长之比约为0.625，柱高与底基直径之比是0.611 2.古代，蒙古族计算方法都体现在古经《珠露海》中.其“纵横图”（图1）对数学计算和数字有很大影响.纵横图及其9个数字在蒙古族传统生活中是非常重要的，9个数字有着宗教、哲学方面的意义.在占卜时，给纵横图中的9个数字赋予与人的命运等有关的具体内容，然后，使每个数字与连续的12年相对应，于是9个数字与108年相对应；还有一种算法，使9个数字与八卦对应，即过“纵横图”中心数字的3个数字和与之相反的两个方向对应.这样就完全确定了纵横图与八卦的关系.还有一些图案艺术和服饰制作也符合数学的简单、对称、和谐等美学标准.

图1 纵横图

西南民族大学周开瑞教授对羌族数学的形成进行了初步的搜集与整理[3].内容包括整数的概念及运算，几何图形，以及建筑和日常生活中的数学应用.他研究发现，羌族记数工具是一条硬质圆木棍，在其上刻一道圆弧表示个位“1”，刻一道圆圈表示“11”.例如甲向乙借了32元，就在木棍上刻三道圆圈两道圆弧（图2）.当场把圆木从中劈为二，各持一半，相互合并，刻痕必须完全吻合，方知借贷数目分毫不差.羌族人民有4种计量长度单位，分别是“卡”、“步”、“排”、“绳”等，并且还发现有换算关系：1绳=12排，1排=2.5步=10卡，1步=4卡，等.

图2 硬质圆木棍刻痕计数

在这些前辈学者们研究工作的影响下，21世纪初，相继有罗永超、肖绍菊和周长军等教授以及一些青年学者也参与了少数民族数学文化的搜集与研究.

凯里学院罗永超教授主要研究侗族数学文化[4]，他发现侗族的自然数中最大的计数单位是“千万”，“千万”以下的计数单位与现代数学相同，最小的自然数是1，在侗族母语中没有零（仅用“无”或“完”表达其意）和负数的读法；有分数和小数的概念和意义，但表达不了纯小数.没有无理数等概念.几何概念较为丰富，如三角形、多边形、圆、直线、平面等在侗族母语中都有，但抽象程度不高，远未达到“数学化”的水平，很多概念含混不清.侗族人民能巧妙地运用了2和及10的倍数将乘法较好地转化为加减法的运算，可以克服没有“九九表”的困难[5].肖绍菊教授研究苗族服饰中的数学元素发现[6]，苗族人民崇拜图腾和数字，在重大的祭祀活动中“9”、“11”使用得最多，体现其威严性和庄重性.在服饰中的几何纹有如三角形、正方形、长方形、平行四边形、五边形、六边形、菱形、圆、螺旋线、星形线、玫瑰线等图形.这些最基本的图形通过连接、对称、组合又构成了较复杂的纹样，如太阳纹、锯齿纹、菱形八角花纹、回纹、水波纹、卷蔓纹、牛角纹、鱼纹、蝶纹、龙纹等[7].

在搜集、整理苗族数理文化时发现[8]，苗族生活中已经形成基本的基数、序数的概念，并且进行简单的加、减和成倍的运算；有行之有效的简单的度量衡，包括长度、重量、面积和体积等.苗族所用的长度单位主要有doud（拳）、diud（拤）、dlingx（庹）、dlob（步）等，与现代汉语用的测量单位不一样，这可能跟苗族所用的测量工具主要是来源于他们的身体肢体部位如手、脚等有关.苗族在宗教的“nux（占卜）”活动中，还运用概率和统计的相关基础知识，形成统一规范的解决一类问题的思维决策数学模型[9].

周长军教授带领的课题组，对云南德宏傣族文化中的数学因素调查发现[10]，傣族有简单的记数和初级的算术加减法运算；度量单位有“liu43（指）”、“xwp43（拃）”、“skl1（肘）”、“wa53（排）”等，傣族对几何的认识，主要从生产、生活中对几何图形的应用上表现出来.关于多边形，傣族是以角来定义的，称为三角形（ha33 sam35 tse11）、四角形（ha33 si11 tse11）、多角形（ha33 tse11 lǎm35）等，但没有进行细分.傣族对几何图形没有系统概括出性质、精确的计算公式、几何命题的逻辑推理，只处于实用阶段[11].王奋平、陈颖树两位教授对黎族数学文化研究也发现[12]，海南黎族在长期生产、生活中总结出很多简单而原始的数学知识，基数词只有1到100，有加、减、乘运算，没有除法运算.记数主要是实物记数、借物记数、刻木记数.常以“一柞”、“一庹”、“一步”、“一歇”和“一日”等作为度量单位.在黎锦图案、纹面图案等中体现出对几何知识的应用.

此外，青年学者刘超、张茜对新疆哈萨克族数学文化进行了调查[13].他们搜集、整理哈萨克族运用的基数、序数及其运算，数的进制，数字文化与数字崇拜，度量衡、历法、几何知识等.他们认为，随着地方经济的快速发展以及主流文化的影响，少数民族的传统文化遗产（包括各民族的数学文化）受到了空前的冲击，以致濒临灭亡.对这些堪称“人类社会发展史活标本”的搜集、整理，其意义和价值并不亚于对一种濒危物种的保护.

综上所述，关于中国少数民族数学文化研究，自20世纪90年代开始，中国学者主要是对蒙古族、苗族、哈萨克族、羌族、黎族、侗族、傣族等的数学文化开展搜集与整理.从研究成果中可以看出，各个民族聚居区域发现和形成的数学文化有共通之处，或相似的地方，例如各个民族使用的基数、序数以及简单的运算，蒙古族和侗族的建筑运用黄金分割数，苗族、哈萨克族、傣族、黎族等使用的度量衡如“一柞”、“一庹”、“一步”等.这些都是人类建构的工具、智慧的结晶，是他们“基于生活形式上的约定，是公共性质的”[14].

2 当前中国学者对民族数学研究的纠结以及数学人类学的引入

上述中国学者对不同地域、不同民族的数学文化探索，取得一系列的成果.然而，有一个问题是不可回避的，那就是“研究什么”的问题，是一个研究对象问题.正如此，使得研究存在诸多诘难.分析当前研究情况，存在两种不同的说法：“民族数学”说和“数学人类学”说.

2.1 “民族数学”说

叫做“民族数学”吗？这个概念就是当前中国一些研究者比较认同的一种说法，也是常常使用的一个概念.这个叫法也是有根据的.

“民族数学”这个词，在1984年8月第五届国际数学教育大会（ICME-5）上提出来，英文为Ethnomathematics.在数学家、人类学家、心理学家和教育家中，怀尔得（R L.Wilder）、怀特（L.White）、费得沃斯（Fettweis）、卢可特（Luquet）和雷姆（Raum）等被认为是民族数学研究的先驱.其他教育家、数学家、人类学家和哲学家也逐渐地加入到费得沃斯、怀尔得、卢可特等早期的民族数学思考之列.“民族数学”一词提出后，对概念的界定也不一.巴西数学史家达布罗西欧（Ubiratan Ambrosio）认为，“民族数学”是指个人在不同文化与环境脉络中，适应与解释实体世界的不同方式.并将民族数学作为不同的文化系统中“跟踪与分析数学知识产生、传播、扩散并标准化过程的方法”[15].这个定义明确了民族数学概念的“地域性”、不同民族的“文化背景差异”以及解决“实体世界”问题的“不同方式”，体现了“数学”的主体地位和“民族”差异的修饰作用[16].美国数学家怀尔得在其出版的《作为文化体系的数学》一书中指出，数学作为一种文化，在各个不同的文化体系会产生不同的数学，民族民间中的典型文化诸如哲学、宗教、习俗、艺术、社会环境等都对数学的产生和发展起到约束作用.民族数学的研究，首要的是对民族文化的研究，对民族学生的文化意识的研究[17].吕传汉教授和汪秉彝教授对“民族数学文化”做出这样的界定，民族数学文化可以理解为存在于民族文化群落里的数学思维模式及其系统实践的知识综合[18].换句话说，民族数学是存在于特定文化群体中的数学思想和数学活动，是一种情境性的数学[19].据此，当前中国学者对各个少数民族聚居区的数学文化搜集与研究，认为就是“民族数学”研究.但有些学者却认为“民族数学”说法不妥当.他们批驳难道：还有“民族物理”、“民族化学”吗？这些问题已是一个纠结.

2.2 “数学人类学”说 即欧美数学人类学研究引介

数学人类学委员会是国际人类学与民族学联合会（简称IUAES）的27个研究委员会（2004年统计）之一，在欧美等西方国家从20世纪60、70年代开始就开展数学人类学的研究.下面对欧美国家的数学人类学理论和研究做简要介绍[16].

国际人类学与民族学联合会数学人类学委员会主席、美国夏威夷大学保罗·W·迪克森（Paul W.Dixon）教授认为，“在数学知识中，有一种既是文化又是神经生理的来源.数学知识的基础作用在所有人类文化中显示出来……数学理解力在信息时代、现代电脑和因特网的控制论中存在着更大的价值.”并且还认为“数学人类学委员会将在21世纪继续致力于这一迫切需求的研究.”[20]在《数学的文化适应：数学教育的文化视角》（Mathematical Enculturation: a Cultural Perspective on Mathematical Education）一书中，比斯霍普（Alan J.Bishop）结合数学和人类学这两门学科特点，创造性地提出一个重要的观点：在今天的文化背景下，人类学是理解数学知识传播的一个有用工具[21].

数学人类学家汉斯霍夫曼（Hans Hoffman）教授在文章《数学人类学》（Mathematical Anthropology, 1969）中对数学人类学的价值、对象做剖析[22].文章指出，尽管人类的想象力是无拘无束，不受制约，但是个人的经历是有限的.经历有赖于工具，并且能发展成独创想象力的广泛领域.我们能够想象不同物体的尺度，但是需要一种工具——自然数——来验证它们.出于这个原因，工具是文化的实质；无论是在物质上还是精神上，它们允许人类体验世界广阔的万物.梭标投射器允许人类早期体验猛犸象的肉，而不用别的相反的方法.……数学是一种工具，在物质世界中能使人类理解和控制巨大数量的事件和工序.特别是，数学是一个工具，渗入想象的领域，彻底地超越一个没有思想工具的经历.而且，一旦数学工具已经被开发，它们经常改变它们的效应和扩大不仅是一个经验，并且还有一个人的想象力.……就像所有的人类文化一样，数学是在不断地发展.早期创造者开发的工具（或问题解决的方案）是被压缩、广义和存储，成为今天人类文化的库存.……几何学收集埃及人的测量规律，希腊人的演绎过程，非欧几里得形式化表示和超越局限三维空间的运动，并且利用它们为一般的太空探索建造一个工具.……数学和科学是非常不同的系统，也许如同男人和女人的不同一样.然而，它们的结合是已经被证实为多产.使用数学方法分析从实践中获取的数据是科学的原本（真实，标准）.相对应，从实践中获得的问题又能激发很多数学创新.……事实上，人类学是处理人、事件、工件、情感、血缘关系和许多其它的现实现象.在各种非凡的数据中，人类学也许是科学规律特有的.它超出被动思考得到的数据，然而，尽管许多人类学家都被吸引到他们的领域，由一个直觉和情感卷入异域风情之中.人类学是一门科学，目的是调查事件、亲属条件等的实际结构；但也是对当地的人和他们的生活的一种认识，指与其他人交流的生活.如果没有别的原因，一个人类学家的感情卷入他的数据应该是确定的.然而，对于开发解释各种数学结构是最有效的工具，并且是最自然的语言，能把个体经验带进广大听众的世界.数学并非是破坏直觉；相反，它是用一种通俗易懂的形式传递直觉.……由于数学理论已经进化成为欧美的概念工具，并非所有已知的数学知识把易洛魁人、奥马哈人和其他亲属关系结构化.在亲属关系学中建构同构或同态模型，传统的数学可能没有用.如果如此，那么对于人类学——特别是数学，它的许多现存基础可能更有用（e.g., Romney and D’ Andrade,1964; Lamb, 1965: 56; Hammel, 1965）.另一方面，亲属关系可能不被认可作为数学函数来研究.在这种情况下，一个正式识别的、合适类别的数学映射将是一个能进一步分析的有用工具.

加利福尼亚大学的数学人类学家米奇尔巴顿（Michael L.Burton）教授在同个题目的文章《数学人类学》（Mathematical Anthropology）[23]中，他选择了怀特（D.R.White）[24]和汉斯霍夫曼（Hans Hoffman）没有研究的论题（在人类学的领域），对“人类学中的度量模式”（Measurement Models in Anthropology）、“度量的目标”（Goals of Measurement）、“数据的近似度量”（Similarity Measures for Nominal data）以及“优选法或排队法的模型”（Models of Preference or Rank Ordering）、“多维模型”（the Multidimensional Model）等开展研究.认为，在人类学中测量问题是无处不在的.人类学中测量的焦点问题是文化演变的研究，包括语义学模式、社会组织变化的度量，概率论（马尔可夫过程等）应用于人口理论和种群理论.如离婚率或结婚习俗.距离测量既是直线也包括多维空间，如三角不等式：

欧几里得距离公式：

即是毕达哥拉斯定理的一般化形式.在空间中描绘点是文化对象的各种形式，例如言语、信仰、文句和种族，或个体角色.在人类学中关于做三维数学研究最近取得了一些成就，这说明只要改进人类学中模型框架就能体现来自其它数学社会科学的有效性.

巴罗诺夫（Ballonoff）和鲍尔A（Paul A.）在《社会人类学的数学基础》一文中，提出了一个综合数学理论，对社会人类学和其必然联系的地区人口理论，包括人口和遗传的措施.例如，从一个简单的社会“婚姻规则”传统习俗，可以计算人口统计数据的稳态或“零增长”.并且数据统计揭示“现代”和“原始”的内涵.

英国数学人类学家托马斯·克伦普专著《数字人类学》[25]，是世界第一本系统的数字人类学著作，采用了世界各地大量的历史资料和田野调查数据，提供了关于数字在文化中使用的第一手材料，涉及了法、德、拉丁、希腊、日、中、梵等多语种，有不同人类族群，包括“数字与语言”、“测量、比较”、“数字在建筑中的应用”、“数字文化：传统与现代”以及“数字习俗的传播与地方性文化”等内容.

美国数学家怀尔得（R L.Wilder）1981年从数学人类学的角度提出了“数学——一种文化体系”的数学哲学观.科诺尔斯（Jeanne Connors）在文章《数学与人类学的交流：学科间对话的需求》（When Mathematics Meets Anthropology: the Need for Interdisciplinary Dialogue）中认为，人类学领域太缺乏（数学）教育研究领域，不管在最近的出版书还是在较晚的论文中，关于文化背景下的数学教育应用人类学方法探讨数学文化，这是值得振奋的事情.

数学哲学家维特根斯坦教授认为，数学仅仅是基于生活形式上的约定，是具有公共性质的.数学计算只不过是语言游戏活动，而语言游戏之所以能进行下去，是因为它是基于生活形式的一致性，这显然脱离不了各种社会因素的影响.数学或者看成是一种人类学现象[26].

上述介绍的欧美数学人类学家研究成果，他们采用的研究方法都类同于如人类学、社会学、民族学、美学、考古学等学科，主要是田野调查，需要进行搜集、整理，观察、发掘散落于民间的数学文化.在引介的成果中，由于条件限制，没有翻译得到更多的相关研究资料，特别是他们最新的研究成果，在此仅作力所能及的介绍.但从中至少能了解到欧美国家对数学人类学的研究轮廓，包括怎么研究、研究什么、谁在研究、什么时候开始研究等，它是一个国际关注的课题.

通过对数学人类学的了解，当前中国学者开展的对某个民族数学文化如蒙古族、苗族、傣族、侗族等进行研究，应该属于上述介绍的数学人类学研究范畴.对“民族数学”的说法，国内存在分歧，特别是“数学有没有民族性”问题，这需要进一步的探讨，在此研究者不敢妄加评论.但是，关于少数民族聚居区的数学文化类归为数学人类学，研究者认为无可非议.对于上述的研究虽然在概念上存在分歧，但在中国必定形成雏形.在中国，数学人类学是一个新的研究动向.因此，中国数学人类学研究要立足于中国本土，借助人类学、民族学的研究方法构建真正适合中国本土的数学人类学研究理论框架，形成中国化的一套研究理论和方法.

3 从“民族数学”走向“数学人类学”的研究实践

凯里学院开展数学人类学研究，经历了两个阶段：第一阶段是所谓“民族数学”研究.从2003年秋开始.当时，罗永超教授认为，要搞好“跨文化数学教育”就应该有丰富的各个民族的数学文化素材，从而思考“侗族数学文化”问题.2006年6月，研究团队申报凯里学院规划课题“侗族数学文化与数学教育”获得立项，并于次年在《数学通报》上发表了《鼓楼人类文明“童年时期”数学文化的结晶》[4]的论文，正式拉开了凯里学院“民族数学”研究的序幕.接着，肖绍菊教授着手于苗族服饰中的数学文化研究.2007年秋，研究者加入了苗侗数学文化研究队伍，开始思考“民族数学”研究的理论问题.2008年6月，凯里学院成立“民族数学研究所”.第二阶段是“数学人类学”研究.2010年，凯里学院副院长、具有跨学科研究视野的徐晓光教授建议思考“数学人类学”的研究问题.研究团队认为，数学受“社会因素的影响”、“基于生活形式上的约定”[26]，因此，具有历史性、社会性、地域性，当前研究取得的成果——诸如蒙古族、苗族、羌族、侗族、黎族等的数学文化——仅仅是这些民族聚居在某个固定区域，经过长期的生产和生活发现、形成的数学文化现象.研究者经过近两年的资料查询和翻译，发现欧美国家的学者在20世纪60年代就已经对数学人类学进行了相关探讨，并明确提出了“数学人类学”的概念.欧美国家的学者采用的研究方法、分析问题的思路与凯里学院研究团队（以及国内其他学者）近年来的研究不谋而合.以上现象说明两个方面问题，一方面是各国、各地区间存在语言各异、文化阻隔的障碍，另一方面是不同国家、不同地域的学者对自然现象和人文科学的研究都会产生相同或相近的方法和路径.因此，凯里学院研究团队明确了“数学人类学”这一永久的研究方向.通过近些年的研究，研究者在思考一个问题：一方面，人类学研究在中国已经走过了近一个世纪的历程，经历了大起大落之后，中国人类学在面向21世纪之时、在新的起点上正逐渐走向规范化、体系化及本土化，而在中国却没有学者关注人类学中的数学分支，包括数字习俗、亲属关系的数理结构、象似符号、随机现象、数学哲理、数学思想方法及推理现象等；另一方面，中国数学史家一直都致力于中国（包括外国）数学史研究，但是主要是主流文化的数学史料研究，尤其是有记载的皇室数学[27]史料，及文献的整理和再发掘.那么那些民族民间的“民俗数学”[28]、“被压制的数学”、“被遗忘的数学”、“本土数学”以及“日常数学”[29]由谁来搜集与研究呢？这就出现了人类学与数学“相联领域”（sister fields）或“过渡领域”（excesses fields）的研究空白.研究者认为，这些“空白”应该就是欧美国家学者所谓的“数学人类学”，是人类学和数学的“交集”，在中国是一个新的研究动向，是中国数学史家和人类学家共同关注的一个方向.

通过上述分析和比较研究，可以这样给“数学人类学”进行描述：数学人类学是认知人类学的一个分支，是人类在不同的社会生活环境中，由于语言和习俗各异、思维习惯和解决问题的方式不同，不同地域的文化阻障，不同群体、群落（包括民族、地域差异）经过长期的劳动发现和运用，最终形成的具有差异性的数学文化以及思想方法，包括人类学的数学分支（数字习俗、亲属关系的数理结构、象似符号、随机现象等）和民族民间数学史料（民俗数学、被压制的数学、被遗忘的数学、日常数学等），能够解决当地群落的现实问题，它们散落在民族民间的物质文化和非物质文化包括建筑、服饰、生活用品、宗教习俗、节日祭祀、婚俗礼节、民间习惯法以及生活中的方方面面中.该研究必将丰富地方科技史素材，对地方的物质文明和精神文明建设具有重要的实践意义，对全国科技史的发展也有不可或缺的学术贡献.

巴西数学史家达布罗西欧认为，一个新的学术领域的发展一定要有研究团队、学术研究机构、学术期刊、研讨班和定期开展学术研讨会等.据此，凯里学院数学人类学研究团队以《凯里学院学报》为阵营期刊.2012年11月，经过徐晓光主编和傅安辉常务副主编精心策划，以及《凯里学院学报》学术委员会研究，决定《凯里学院学报》从2012年第6期开始开辟了“数学人类学”栏目.并且在这一期，该栏目首次推出3篇数学人类学文章.徐晓光的《原生态民族法文化中的数字与象征符号》，从法律人类学视角探讨了中国历史上各少数民族在不断地认识事物，以及相互社会交往中形成的以数字、刻木、草符为载体的法文化符号体系.张和平的《民族数学与数学人类学研究述略》，介绍了中外学者“民族数学文化”研究概况，引介欧美专家关于“数学人类学”研究取得的理论成果，并且对当前中国学者研究现象存在的盲点进行分析.罗永超等的《侗族数学文化与数学教育》，调查侗族生活中使用的数学知识以及鼓楼建筑中蕴含的数学文化，思考民族地区数学文化教育的路径.该栏目的开设，旨在给全国的数学人类学研究提供学术交流平台，吸纳学术队伍，让更多的学者参与思考、研究数学人类学这一国际性的课题.

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