自主探究 适时建模 择机而用

余建淳

摘 要：自主探究、算法多样、适当建模是《数学课程标准》所倡导的教学理念，在2011版标准中特别提出在活动中积累经验，渗透数学思想。笔者基于小学四年级第八册数学广角《植树问题2—— 方阵》的课例研究提出学生在具体情景中，学生主动探究、寻求方法多样，让学生自己慢慢感悟、提炼和优化的策略，让学生的个性化学习得到充分的发挥，使得每位学生在数学学习上得到不同的发展。

关键词：自主探究 方法多样 数学建模

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）05（b）-0126-02

在小学数学学习过程中学我们经常看到当习题一变，遇到新问题学生就束手无策。是什么原因导致我们的学生思维僵化、不能灵活运用所学方法解决相类似的新问题呢？不难发现我们的教师很多的时候是站在如何教的角度开展教学，导致主导过重。教师以学生能否快速、准确地算出棋子总数，做对题目为教学主要目标，往往就把自认为最优的方法快速教给学生。正是这种急功近利地教学，忽视了迂回战术和能力的提升，数学思维也慢慢随之消失。

1 自主探究—— 方法多样

由于学生的生活背景和思考角度的不同，每位学生的思维水平的差异性必然导致所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡方法的多样化。而方法多样化带来的另一个现实要求是适时引导学生对多种方法进行比较分析，找出其中的规律，最终实现方法的优化。

【案例1】情景引入 师出示主题图：“用25盆花擺成了5行5列的正方形阵形叫5×5的方阵。”（板书：方阵）

师：“现在老师拿掉中间的花，最外面一层每边摆5盆（每个顶点都要放一盆），总共需要几盆？”揭题：研究方阵

自主探究

师：为了方便研究，我们把盆景用点表示；5×5的方阵最外一层共有几个点？你有几种方法？（提供研究单）

生独立探究、小组合作—四人小组交流—展示汇报（要求说出思路和理由）方法一：5×4-4=16，方法二：（5-1）×4=16，方法三：（5-2）×4+4=16，方法四：5×2+（5-2）×2=16，方法五：5×5-（5-2）×（5-2）=16，师：“比较这五种方法，你有什么想说的？”.生说：虽然这几种方法看上去不一样，但其实都考虑到四个顶点，重复算就减掉，没有算就加进。方法六：8×2=16 师（指着方法六）：“那你们看这种方法怎么想到？”生1：“我是两个两个数的。”师：“那你们看这两种方法怎么样？”生：“当每行的个数比较少的时候还可以，但每行的个数比较多的时候就不方便了。”师：“每种方法都有它的优点，每位同学擅长的也都不一样，请你记住一种你最欣赏的方法。”

【感悟】鼓励学生方法多样化并不是每个人多样，而是群体方法多样化。倡导方法多样化是有前提的，学生的确存在着思维的差异性与层次性，各种不同方法是建立在思维等价基础上的，否则多样化就会导致泛化。从学生解决问题的思维水平看，各种方法的思维并不等价，这就需要我们很好地处理方法多样和优化的关系。

1.1 主动探究多样方法慢优化

笔者认为，对于“运算法则”我们有必要进行优化，但这并不是所谓“算法”。所谓算法，应该是解决问题的方法，而不是算术计算法则、顺序。解决问题的方法不仅应该鼓励多样化，而且应该反对优化。因为小学生解决问题更有价值的是过程而不是结果，算法多样化正是过程价值的体现形式。方法多样化强调的是不同层次的学生参与学习。当然鼓励算法多样并非只是鼓励学生求异而求异，必须对其进行“有价值”“便于思考”“简单”等价值判断，如果把过程叫做“优化”，而不是为了实现唯一最好方法，笔者是赞同的。

纵观对比学生出现的这五种方法，学生思维多层次是建立在同一个层次上，不同的是他们在观察图形时思考的角度不同。每种方法都有自身的特点，自己的优势，每种方法都有自己针对的图阵。在学生展现了不同方法以后，可以引导学生对其整理、归类。上面出现了方法六停留在低层次上的动作思维和形象思维我们可以优化成上面的另外五种方法。

1.2 适度引导优化方法勿强行

优化的过程是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制的过程。现在还出现一个现象是我们的学生在老师的“悉心教导”下学会了“察言观色”。上面论述到方法六显然要摒弃掉，但在老师的引导下学生认为方法一：5×4-4=16最好，真的是这样吗？课后我去问学生“为什么这种方法最好？”学生的回答是“这个算式数字最少，步骤最少，算起来比较快。”

显然，步骤少是方法优化的一个特征，但不是必备的要素。很多时候老师把自认为最好最快捷的方法教给学生，而当学生出现不同的方法或比较繁琐的方法时，我们的老师总是快速扼杀掉。其实我们老师对方法不必过早优化，教师应该学会等待，不能急于求成。俗语说：“强扭的瓜不甜”。对一个个体而言，他总是使用自身熟悉或习惯的算法解决问题，因此，个体在解决问题时没有必要掌握多种算法，教师应该帮助学生建立几种方法之间的联系。

2 水到渠成—— 适时建模

《义务教育数学课程标准（2011版）》提出学生要亲身经历建立数学模型的过程。那么在建模的过程中，我们也常常遇到这样几个问题：在不强调数量关系和未学过字母表示的数的情况下要不要建模？什么时候建模比较合适？要建立怎样的数学模型比较恰当？

【案例】师：同学们，刚刚我们想到这么多方法解决了每边站5人的情况。

如果每边人数不是5，而是6个，7个，8个，更多的人呢？你最爱的方法还行吗？验证一下！要求：先想好每边站几人—— 画出图形用你最爱的方法试试看—— 你能得到什么结论。反馈：不同学生的思路

学生1：每边人数×4-4=最外层人数

学生2：（每边人数-1）×4=最外一层总人数

学生3：每边人数减去2再乘以4，最后加4。

【感悟】《数学课程标准》（实验稿）倡导以“问题情境一建立模型—— 解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式。建模是很多老师在这节课中必须达到的一个目标，但是不是当学生提炼出n×4-4、（n-1）×4、（n-2）×4+4……这样的公式就大功告成了呢？真正的模型并不在于此。目标明确、任务清晰、空间广阔的探究任务是学生在探究中获得数学感悟的基点。抽象出模型的过程，不是教师强势给予的过程，而是学生自发探究的过程。所谓的模型，必定是我们在不断尝试中得到的，每边人数是5、是6、是7或是更多呢？我们设计的探究活动应具有开放性和趣味性，以问题为驱动，让学生在“做数学”中获得知识、学会思维、领悟思想、形成情感，其核心都是学生思考问题的过程，积累数学思维活动的经验。

2.1 水到渠成恰是建模最佳期

思考第一次建模为什么失败？数学模型需要学生有独立自主的研究能力和知识的抽象概括能力。显然第一次是老师理想状态下的建模学习，小学生的认知水平、学习能力并没有达到这种状态。所以教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。虽然老师提供的研究表格看上去一个情景，但过于抽象和过于侧重结果，所以学生没有明确建立一个计算方法的模型。

解决方阵问题有那么多方法并没有突出的一种，所以在第二次建模中坚持让学生用同一种方法解决不同情形的问题。让学生对每一个算式用精确的语言进行描述（语言的描述是模型符号化至关重要的一步）。当学生对自己的方法理解到位同时能用语言描述时也是建立数学模型的水到渠成时。

2.2 适合自己才是数模最佳型

解决上述方阵学生出现了五种方法，每位学生坚持自己的方法时也就出现了五种数学模型。有老师提出疑问：“学生虽然出现了五种模型，其实这五种模型都可以简化成最简单的一个（n-1）×4，学生学过乘法分配律，为什么不化简化成同一个？”的确，对一个问题的假设和数学模型不断加以修改，进行最优化处理是建模的一个要求，同时初中学习的要求也是要化成最简的。我们深思今天需不需要化简？怎样的模型是最佳的？我想只有合适的才是最好的。

在小学阶段建立数学模型不是主要目的，重要的学生经历建模的过程，从中培养学生的数学概括、提炼能力，发展学生的数感、符号感，提高学习兴趣。今天的化简也不是重点，从学生的接受能力和主官意愿也不适宜化简。我们要学会等，允许学生慢慢来。我们惊喜的发现学生的结论正是对问题的理解和模型的建构，他们远比我们想象的要能干得多。数学活动正是积累活动经验的前提，这个探究环节的设计旨在让学生对已探得的方法学会质疑在之前放手让学生独立思考和小组讨论并没有得出基本的模型。

3 择机而用—— 方法优化

自主探究的目的是希望能从中找到一些内在的规律，开展数学建模活动，关注的是建模的过程，能把规律用规范的语言描述或用符号简化表示，但建模不仅仅是结果，更多的是培养思维能力，特别是创造能力，能灵活运用模型解决问题。

在解决方阵问题中我出现了五种并驾齐驱的方法，每位同学都会坚持自己喜欢的方法，排斥其它。怎样让各种方法凸显它的优势？仅仅凭老师的三言两语是说服不了学生的，这也值得我们老师好好去思考设计有价值的习题。

3.1 形变而本同强化一般方法

【案例】

延伸拓展：师：“大家能不能用刚才研究方阵的方法来解决其它阵形呢？”

（1）一边7个点的正三角形的点阵最外1层有几个点？（如果每边10个点呢？）

生：略

师，每边n个点呢？

（2）一边10个点的正五边形的点阵最外1层有几个点？

师：“那通过刚才的研究，你又有什么新的收获？”

生：“老师，其实不管改成几边形，我们都可以用前面的方法解决。”

【感悟】我们在学习空心方阵后，学生基本掌握了计算一把方法，也建构了基本的数学模型。为了能对其中真正内涵的理解，我们老师可以改变基本图形形状，拓展到正多边形点阵都有同样的解决方法。从而起到建立数学模型的真正作用，充分培养学生数学推理和运用能力。

要真正提高学生建立数学模型的意识和思想，不应在加深问题的难度上下工夫，而要通过有代表性的、学生容易接受的问题链，让学生产生“顿悟”，获得一种积极的情感体验，这样即使遇到一些未解过的题目，学生也会自觉地运用模型思想和方法解决新问题。我们在学习空心方阵后，学生基本掌握了计算一把方法，也建构了基本的数学模型。为了能对其中真正内涵的理解，我们老师可以改变基本图形形状，拓展到正多边形点阵都有同样的解决方法。从而起到建立数学模型的真正作用，充分培养学生数学推理和运用能力。

3.2 形似而质异凸显各自优势

【案例】（1）依次出示下列图形，求一共有几个点。（如图1）

（2）师：48名舞蹈队队员围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点各站1人，每边各要多少位女同学？生（独立尝试解答）师（根据学生回答板画）

【感悟】习题1在基本图形中，每种方法凸显不出自己的优势，我们可以借机出示一些更复杂的图阵，让学生能从中找到一些解决图阵的基本思路，针对不同的图阵选用不同的思路，明白每种方法的优势特点。在具体运用中，学生能根据图形的自身特征灵活选用最佳的方法这是我们数学学习的重要目标。

习题2强势逆推，迎难而上—— 这个环节放与放，我们思量很久。为了验证我们在之前为学生所做的三次探究的铺垫是有意义的，必须通过这个环节来验证教学的效果。在课堂上，学生用画图的方法，结合自己最喜欢的方法逆推还原实现了问题解决的完整性。学生成功解决这个问题，使得我们坚信方阵问题并不一定要和植树问题捆绑教学，将它作为学生积累丰富数学活动体验的教学内容是非常可贵的。尊重学生方法多样化，适时优化并不是一种形式，这节课我们认为最大的亮点就是我们让方法多样化留到了最后，允许学生根据不同的思维水平选择和调整自己的“策略”和“模型”。

一节课，联想到一类课。在我们小学数学学习内容中很多新知的学习都可以通过自主探究、方法多样—— 水到渠成、适时建模—— 择机而用、方法优化的教学模式展开。笔者认为只有每位学生的主动参与探究、讨论、提炼、建模才是有意义的学习；只有真正适合儿童的教学才能从内心唤醒孩子的学习需求和兴趣。学生自主探究、倡导方法多样化都是学生个性化发展的需求，方法的优化、数学模型的建立是学生学习能力提升的需求。学生的思维存在差异性和层次性，我们的老师需要慢慢等待，不应为了优化而优化，为了建模而建模，一切建立在学生的基础上。作为学生数学学习的初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的数学知识的教学，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，引导学生学会思考问题，全面提升学生的数学素养，使数学学习给学生留下“意识”“思想”“经验”“习惯”“快乐”等，为学生的后续学习和可持續发展奠定基础。希望通过上述学习的开展，让每位孩子的潜能都得到尽情开发，每位孩子的思维都得到充分发展。

参考文献

[1] 义务教育数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2012.

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[4] 孔企平.构建以学习为中心的数学课堂[M].北京师范大学出版社，2004.

[5] 郑毓信，梁贯成.认知科学，建构主义与数学教育[M].上海教育出版社，1998.